عدد 13

اگر از كوچه پس كوچه‌های قديمی شهرآنجايی كه هنوز رگه‌هايی از خانه‌های قديمی كاهگلی يافت می‌شود گذر كنيم هنوز هم پلاكهای خانه‌هايی را می توان ديد كه روی آن 1+12 به جای سيزده نوشته شده است، علت آن را در اعتقادات مردم می توان يافت تحت اين عنوان:
نحس بودن 13 !
آنچه در ادامه خواهيد خواند جادوی 13 است كه به نظر جالب می رسد !!!
● 13 عدد اول است.
● 1-13^2 عدد اول مرسن است. 
13جسم ارشميدسی موجود است. (اجسام ارشميدسی اجسامی هستند كه وجوه آنها چند ضلعی بوده، نه لزوما از يك نوع ، و كنجهای آنها مساوی هستند.) 
عدد 13كوچكترين Emirp است. (Emirp عدد اولی است كه اگر ارقام آن را معكوس كنيم مجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)
● 169=2^13 بامعكوس كردن ارقام آن داريم:.....

برای خواندن کامل متن بر ادامه ی مطلب کلیک کنید. 

 

ادامه نوشته

جایزه آبل

جایزه آبل
Abel prize
 
جایزه آبل سالانه به وسیله پادشاه نروژ به ریاضیدانان برجسته اعطا می شود. آکادمی علوم و دانش نروژ سالانه برنده جایزه آبل را بعد از انتخاب توسط یک کمیته پنج نفره از ریاضیدانان بین المللی، اعلام می کند. مبلغ این جایزه نزدیک یک میلیون دلار آمریکا است.
در سال 2001 دولت نروژ اعلام کرد به مناسبت بزرگداشت دویستمین سالگرد تولد ریاضیدان نروژ نیلز هنریک آبل(1829-1802)  Niels Henrik Abel جایزه ایی جدید برای ریاضیدانان در نظر گرفته است.این جایزه در حقیقت برای تشویق ریاضیدانان به خصوص افراد جدید در جهت تولید دانش ریاضیات است.
این جایزه بر اساس طرح پیشنهادی لی Sophus Lie – ریاضیدان قرن 19 ، دانشگاه اسلو- شکل گرفت.
 
Ludwig Sylow وCarl Størmer اساسنامه و قوانین را برای این جایزه تنظیم کرد.
در آوریل 2003 اعلام شد که Jean-Pierre Serre نخستین کاندیدای دریافت جایزه آبل است.در ژوئن همین سال برای نخستین بار این جایزه وی اعطا گردید. 

 

2004 Sir Michael Atiyah	2004 IsadoreSinger	2003 Jean-Pierre Serre
	2006 Lennart Carleson	2005 Peter D. Lax

 

منطق دانان

 

منطق‌دانان درگذشته سال اخير: مارتين لوب۱۹۲۱- ۲۰۰۶ و لئون هنكين ۱۹۲۱- ۲۰۰۶

 

شهرت لئون هنكين بيشتر به دليل اثبات تماميت منطق محمول‌ها به روشي بسيار ساده‌تر و كلي‌تر از روش گودل است. (برهان تماميت گودل اولين برهان تماميت براي منطق محمولهاست). امروزه، بيشتر برهان‌هاي تماميت در نظام‌هاي گوناگون منطق جديد به روش هنكين صورت مي‌گيرد.

گودل در برهان خود بر ناتماميت علم حساب، گزاره‌اي مشابه پارادوكس دروغگو (= من دروغ مي‌گويم) را در علم حساب پيدا كرد كه مي‌گفت همين گزاره در علم حساب قابل اثبات نيست. اگر اين گزاره در علم حساب قابل اثبات باشد قابل اثبات نخواهد بود و بنابراين، علم حساب ناسازگار مي‌شود و اگر قابل اثبات نباشد علم حساب همه گزاره‌هاي صادق را نمي‌تواند اثبات كند و بنابراين، ناتمام است. از آنجا كه اين گزاره يا قابل اثبات است يا قابل اثبات نيست پس علم حساب يا ناسازگار است يا ناتمام؛ و به عبارت ديگر، علم حساب اگر سازگار باشد ناتمام است.

هنكين در ۱۹۵۲، اين سوال را مطرح كرد كه گزاره مشابه پارادوكس راستگو (= من راست مي‌گويم) كه مي‌گويد همين گزاره در علم حساب قابل اثبات است چه وضعيتي دارد؟ آيا قابل اثبات است يا قابل ابطال؟ و يا برخي قابل اثبات و برخي قابل ابطال؟

مارتين لوب در 1955 پاسخ شگفتي به اين سوال داد: چنين گزاره‌هايي، همگي، قابل اثبات هستند. اين پاسخ به قضيه لوب معروف است و سرآغاز منطق اثبات پذيري است. اگر £ را به معناي اثبات‌پذيري در علم حساب بگيريم سوال هنكين چنين صورت بندي مي‌شود:

⊢ P↔£P   Þ  ⊢ P  ?

لوب پاسخ قوي‌تري به اين سوال داد و حكم قوي‌تر زير را ثابت كرد:

⊢ £ P → P   Þ  ⊢ P 

صورت تقويت شده اين حكم را كه در زير آورده ايم اصل گودل لوب مي‌نامند:

£ (£ P → P)  →  £ P 

اين اصل را به افتخار گودل و لوب، GL نام گذاري كرده‌اند و هيوز و كرسول ۱۹۶۶ آن را W ناميده اند. منطق وجهي KW يا همان GL مبناي كار منطق اثبات پذيري است.

 

دالامبر

 

دالامبر (۱۷۸۳-۱۷۱۷)

صبح یكی از روزهای ماه نوامبر ۱۷۱۷ ناله كودكی از داخل بسته ای در كنار كلیسای «سن ژان لورن» توجه زنی خیرخواه و نیكوكار را به خود جلب می نماید. زن نیكوكار كه زوجه شیشه بر فقیری به نام «روسو» بود كودك را به فرزندی خود قبول می كند. زن نیكوكار كودك را مانند فرزند خود تربیت می كند و كودك هم بعدها حق شناسی بی مانندی را درباره این مادر مبذول می دارد.
ولی مدتها بعد معلوم شد كه این كودك فرزند نامشروع زنی میهماندار به نام مادام «تنس» و یك افسر سوار نظام بنام ژنرال دتوس می باشد.
طولی نكشید كه دالامبر سر راهی بزرگ شد و دانشمند شهیری گردید ولی هیچ وقت مادر- خوانده خود را فراموش نكرد و به مادام تنس كه مایل بود او را پیش خود ببرد گفته بود كه: «شما فقط نامادری من هستید و مادر حقیقی من همان زن شیشه بر است.»
دالامبر بیشتر به واسطه پژوهشهایش در ریاضیات و مكانیك استدلالی و به عنوان ویراستار علمی دایره المعارف معروف است، او در معروفترین كتاب خود به نام «رساله درباره مكانیك» كه در سال ۱۷۴۳ منتشر شد سه قانون خود برای حركت را عرضه كرد. در مورد قانونهای اول و دوم یعنی قانون ماند و قانون متوازی الاضلاع حركت، استدلال دالامبر هندسی بود فقط در مورد قانون سوم پای فرضهای فیزیكی در میان است. این قانون به موضوع تعادل می پردازد و عبارت است از اصل بقای اندازه حركت در موقعیتهای برخورد.
دالامبر در این رساله نخستین بیان درباره آنچه را امروزه اصل دالامبر شناخته می شود ارائه می كند.
این اصل امروز در واقع بیش از آن كه اصل به شمار آید قاعده ای است برای كاربرد قوانین حركت كه در رساله بیان شده اند. می توان آن را چنین بیان كرد: در هر موقعیتی كه شییء در اثر مانعهایی از ادامه حركت ماندی عادی خود بازماند، حركت حاصل را می توان به دو مؤلفه تجزیه كرد: حركتی كه شیء عملاً انجام می دهد و حركتی كه مانعها آن را از بین می برند. دالامبر در سال ۱۷۴۴ رساله ای درباره تعادل و حركت سیالات انتشار داد و از اصل خود برای توصیف حركت سیالات استفاده كرد و به بررسی مسائل مهم جاری مكانیك سیالات پرداخت. كتاب دیگرش به نام «تفكراتی درباره علت كلی بادها» كه در سال ۱۷۴۷ منتشر شد، حاو نخستین كاربرد عمومی معادلات دیفرانسیل جزئی در فیزیك ریاضی بود در مقاله ای به سال ۱۷۴۷ معادله موجی برای نخستین بار در فیزیك ظاهر شد اما راه حل دالامبر اگرچه درست بود، كاملاً با پدیده های مشهود وفق نمی داد.
در كتاب «پژوهش درباره تقدیم اعتدالین و رقص محوری زمین» كه در سال ۱۷۴۹ نوشته شد. روش او در پرداختن به مسأله تقدیم اعتدالین شبیه به روش كلرو بود و به راه حلی دست یافت كه با حركت رصد شده زمین توافق بیشتری داشت. همچنین كتاب و رساله ای درباره نظریه جدید مقاومت سیالات كه در سال ۱۷۵۲ منتشر شد و در آن برای نخستین بار معادلات دیفرانسیل هیدرودینامیك بر حسب یك میدان بیان شده و باطلنما (پارادوكس) هیدرودینامیك مطرح گردیده بود، بحث و جدال بسیاری برانگیخت. فرهنگستان پروس در مسابقه ای كه این مطلب برای آن نوشته شده بود جایزه ای اعطا نكرد به این دلیل كه هیچ كس دلیلی تجربی در مورد این كار نظری ارائه نكرده بود. ادعا شده است كه اثر دالامبر اگرچه بهترین اثری بود كه به فرهنگستان رسیده بود، از خطا مصون نمانده بود. خود دالامبر محرومیت خویش را از جایزه نتیجه نفوذ اویلر می دانست و روابط میان این دو دانشمند كه قبلاً تیره شده بود، رو به وخامت بیشتری نهاد. افتخار توسعه مكانیك سیالات به گونه ای مختلف به هر دو شخص نسبت داده شده است. دالامبر پیشگفتار دایره المعارف را نوشت. این پیشگفتار از اسناد عمده عصر روشنگری و بیانیه فیلسوفان است.

مقاله های دالامبر در دایره المعارف از حوزه ریاضیات بسیار فراتر می رفت. دالامبر كه با همكاری «دیدرو» برای تهیه دایره المعارف اقدام كرده بود در سال ۱۷۵۸ همكاری با دایره المعارف را ترك گفت. وی در سال ۱۷۵۴ به عضویت آكادمی علوم فرانسه انتخاب شد. محصول علمی مهم دالامبر پس از سال ۱۷۶۰ كتاب «جزوه های ریاضی» او بود كه مشتمل بود بر راه حلهای جدید فراوانی برای مسائلی كه او قبلاً به آنها دست یازیده بود. دالامبر سرانجام در روز ۲۹ اكتبر ۱۷۸۳ در شصت و سه سالگی در پاریس درگذشت.

منتظر نظر شما دوستان هستم.

هندسه ی کاوالیری

 

هندسه کاوالیری

بوتاون تورا کاوالیری (۱۵۶۴-۱۶۴۲) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال ۱۶۳۵با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.

غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.

برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.

اصل کاوالیری درباره مساحت

اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.

با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.

اصل کاوالیری در باره حجم ها

دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.

خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتعاشات برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»

این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.

کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.

ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.

طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد…

به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.

یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.

 

گزارشی از منطق ریاضی

 

منطق مورد بررسی روش های شناختی قرار گرٿته است و آن چه در دانش عنوان منطق را حمل می کند عمدتا حاصل چنین بررسی هایی است. به عبارتی منطق بیش از آن چه یک مقوله ی منٿرد  و یک روش باشد موضوع روش های گوناگون بوده است. از قدیمی ترین و مهم ترین این ها می توان از منطق ٿلسٿی philosophical logic (منطق مورد بررسی روش ٿلسٿی) و منطق ریاضی mathematical logic (و همچنین...) نام برد. گرچه با پیدایش و اٿزایش اهمیت روش های دیگر منطق موضوع روش ها دیگر نیز شده است (بیشتر روش های تجربی، واقع و نتیجه گرا) اما هنوز می توان تمام روش شناسی های منطق را در قالب این دو قرار داد.

منطق در دسته بندی دیگری از نظر محتوا information و صورت form در دو حالت صورت گرا formal یا محتوا گرا informal تقسیم می شود. در استدلال:

ادامه نوشته

 

سلام.یکی از دوستان منظور از از  جمله زیر را که در بخش  بی نهایت چیست را متوجه نشدند.(این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.") .

برای درک بیشتر این جمله کافی است جمله را به صورت زیر تصییح کنیم.

(این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم x به سمت بی نهایت میل میکند ، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.")

در پایان بی نهایت را از دیدگاه چند ریاضیدان بررسی می کنیم:

اصل موضوع اقلیدس

اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگ‌تر است.

این اصل یک حقیقت بدیهی به نظر می‌رسد و در فلسفه نیز از آن استفاده می‌شود. این اصل ادعا می‌کند که اگر قسمتی از یک شئ را حذف کنیم، آن‌چه باقی می‌ماند از شئ اولیه اکیدا کوچک‌تر است.

اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن پیدا شد. مثلا واضح است که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزءی از همه اعداد طبیعی هستند.

 بینهایت از نگاه ددکیند

اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد، بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم‌اندازه باشد.

این، شاید اولین تعریف از بینهایت در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را نامتناهی گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.

 بینهایت از نگاه کانتور

در اواخر قرن نوزده، جرج کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم () هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک ،) k عضوی باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.

به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور، بینهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.

نکته قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهوم بینهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجمموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد.

 

گالوا.

 

تأمّلی بر سرگذشت اواریست گالوا ، ریاضیدان بدشانس فرانسوی

 

 

  ریاضیدانان بزرگ معمولاً سرگذشتی غیر داستانی دارند. یا به طور دقیق تر ، داستان زندگی آنها را نوآوری ها و دستاوردهای ریاضیاتیشان تشکیل می دهد که غیر ریاضیدان ها به سختی می توانند آن را درک کنند. بزرگترین استثناء در این قاعده ، اواریست گالوا است. آنچه از زندگی گالوا می دانیم بیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نباید قهرمان داستان به طرز فجیعی کشته شود بلکه تراژدی را می توان به عنوان سرکوب نمودن نبوغ یک نابغه و در نظرنگرفتن و توجّه نکردن به او نیز دانست.

  اواریست گالوا را حتّی کسانی که دستی بر ریاضیات دارند هم ، نمی شناسند چه رسد به افراد عادّی که بیشتر ریاضیدانان بزرگ و مشهوری چون نیوتن و اویلر و ... ر می شناسند. اواریست گالوا را حتّی دانشجویان ریاضی هم به خوبی نمی شناسند.

 در یکی از روزهای سال 1811 میلادی ، در نزدیکی پاریس ، پسری به دنیا آمد که او را "اواریست" نام نهادند. چون والدین پسر ، خود، افرادی تحصیل کرده بودند ، تا سنّ 12 سالگی نزد مادرش به تحصیل و فراگیری علم پرداخت. پس از آن به مدرسه رفت. در دروس عادّی مدرسه دانش آموزی متوسّط بود. امّا هنگامی که کتاب مبانی هندسه   اثر «لژاندر» به دستش رسید و آنرا مطالعه کرد به شدّت تحت تأثیر قرار گرفت. می گویند که او این کتاب را مانند یک کتاب داستان عادّی خوانده است و فقط با یک بار مطالعه آن ، بر مطالب کتاب احاطه کامل یافته است. از همین جا بود که با کارهای ریاضیدانان بزرگی چون لاگرانژ و آبل آشنا شد و آنها را مطالعه کرد. هنگامی که 15 ساله شد، خودش به تنهایی یک خواننده حرفه ای آثار ریاضی بود و کشف کردن در دنیای ریاضی را آغاز کرد و به کشفیّات مهمی نیز دست یافت. در آن سنّ و سال کم و بدون بهره بردن از هیچ تحصیلات عالی رسمی ، گالوا قادر بود به کشفیّاتی برسد که او را به شهرتی جاودانه در دنیای ریاضیات برساند. شهرتی که هیچ گاه طعم آنرا در زمان حیاتش نچشید.

"دوپوی" در جمله ای راجع به شرح حال گالوا می گوید:

« کتاب های جبر مقدّماتی هرگز گالوا را قانع نکرد زیرا در آنها جای پایی از مکتشفین نمی یافت. درست از اوّلین سال ریاضی به لاگرانژ روی آورد. »

دست نوشته هایش از نظم و ترتیب خوبی برخوردار نبود و به دلیل ذهن نیرومندی که داشت بیشتر محاسبات ریاضی را به صورت ذهنی انجام می داد و فقط نتایجش را یادداشت می کرد. مقالات و مطالبی که می نوشت مانند اکثر مقالات ریاضیدانان قرن هجدهم ، خلاصه و بی ترتیب بودند. سبک نوشتنی که در ریاضی نویسی امروزی ، کاملاً نامأنوس و نامرسوم است.

مدرسه پلی تکنیک پاریس ، مدرسه ای بود که ریاضیدانان بزرگی در آنجا تربیت شده بودند و دو بار تلاش گالوا برای ورود به این مدرسه، ناکام ماند. گالوا خود به خوبی می دانست که از بسیاری از کسانی که پذیرفته شده بودند ، شایستگی بهتری دارد. امّا او ناامید نشد و خود به مطالعه ریاضی پرداخت. به عقیده بسیاری از ریاضیدانان بزرگ ، پذیرفته نشدن گالوا در مدرسه پلی تکنیک پاریس ، خُسران زیادی برای علم ریاضیات به همراه داشته است.

کشفیّات اساسی او در معادلات چند جمله ای بود که در سال 1829 برای اوّلین بار ، طی مقاله ای ، آنها را به آکادمی علوم پاریس فرستاد. کسی که مقالات ارسالی به آکادمی را از نظر علمی ، قضاوت و داوری می کرد ، "آگوستن لویی کُشی" بود. کُشی ریاضیدان بزرگ و ماهری بود و این توانایی را داشت که بتواند با مطالعه مقاله گالوا ، آنرا بفهمد و به ارزش کشفیّات او پی ببرد. امّا در این بین ، کُشی ، مقاله گالوا را گم کرد و دیگر نتوانست آن را پیدا کند. شاید این گم شدن مقاله را بتوان به حساب بدشانسی خود گالوا گذاشت!!

بعد از این ماجرا ، گالوای شجاع ، کارهایش را در مسابقه سال 1830 جایزه بزرگ آکادمی در ریاضیات شرکت داد. مقاله گالوا بدون شک باید برنده این جایزه می شد. امّا این بار هم بخت با گالوا یار نبود زیرا "فوریه" که منشی آکادمی بود ، مقاله گالوا را با خود به خانه برد و به طور ناگهانی پیش از خواندن آن  فوت کرد و مقاله گالوا دوباره گم شد!!

گالوا نسخه دوّم مقاله اش را به آکادمی فرستاد. این بار قضاوت درباره مقاله ، بر عهده "پواسون" بود. هنگامی که پواسون مقاله گالوا را مطالعه کرد ، در حاشیه یکی از برهان های گالوا ، یادداشتی به این مضمون نوشت:

« برهان این هم ناکافی است امّا بنابر بخش 100 از مقاله آقای لاگرانژ ، برلین ، 1771 ، درست است. »

چه اتّفاقی افتاده بود ؟ مگر می شود برهان یک قضیه ، ناکافی امّا درست باشد ؟

گالوا در یادداشتی دست نویس به پواسون پاسخ داد :    « اثبات خواهد شد. »

شاید منظور گالوا ، چیزی شبیه به  "آن بماند تا ببینیم" بوده است. با این حال منظور گالوا این بوده است که " لطفاً به بررسی بقیه قسمت های مقاله بپردازید تا من برهان را در آینده کامل کنم. "

امّا پواسون در گزارش خود به آکادمی از مقاله گالوا به عنوان یک کلّیت یاد کرده و می نویسد:

 « ما تمام کوشش خود را برای درک برهان آقای گالوا به کار بردیم ، امّا استدلال های ایشان به اندازه  کافی روشن نیست و به اندازه کافی پرورانده نشده اند تا م بتوانیم درباره درستی آنها قضاوت کنیم ... »

پواسون امیدوار بود که گالوا به اصلاح و توسعه کار عرضه شده خویش بپردازد تا بتواند برهان کاملتری را به آکادمی ارائه دهد. امّا گالوا می دانست که برهانهایش درست هستند و به علاوه ، دانش و درک او از جبر ، بسیار فراتر از دانش کسانی است که مقاله او را داوری می کنند.

واقعیّت نیز همین بود که داوران آکادمی ، دانش و توانایی فهمیدن استدلال های گالوا را نداشتند. از طرف دیگر ، سنّ کم گالوا که در آن زمان فقط 19 سال داشت و مواجه شدن داوران با دست نوشته ای نا مفهوم و همچنین اعتقادات ضدّ دولتی گالوا ، همه و همه دست به دست هم داده بودند تا مقاله گالوا مورد تأیید آکادمی علوم پاریس قرار نگیرد. به طوری که پواسون در انتهای گزارش خود به آکادمی می نویسد:

  « به  صورتی که در حال حاضر مقاله به آکادمی ارائه شده ، نمی توانیم تصویب آنرا به شما توصیه کنیم. »

و این یعنی مقاله گالوا رد شده است.

پس از رد شدن مقاله توسط پواسون، گالوا به شدّت ناراحت و تلخ کام شد و بعد از آن برای پروراندن مقاله خود و قابل فهم تر ساختن آن چنانکه پواسون می خواست ، ابداً هیچ کوششی نکرد.

به خاطر این وقایع یا به خاطر آنکه پدرش طرفدار جمهوری بود ، گالوا به انتقاد شدید از رژیم بوربونها دست زد و به گارد ملّی فرانسه یعنی سازمان جمهوری خواهان پیوست. در این زمان ، فرانسه ، سخت گرفتار آشوبهای سیاسی بود. گالوا به خاطر فعالیّت های سیاسی اش محاکمه شد و به عنوان زندانی سیاسی ، چند ماهی را در زندان گذراند.

پس از آزادی از زندان در سال 1832 ، گرفتار عشق دختری عشوه گر شد. امّا گالوای بدشانس در بازی عشق نیز شانس نیاورد و بر سر دستیابی به این دختر ناگزیر به انجام یک دوئل مرگبار شد.

شب قبل از آن دوئل مرگ آفرین ، نامه ای به دوستش "ژوزف لیویل " می نویسد و در آن ، ناگفته ها و یافته های ریاضی اش را به اختصار شرح می دهد و از او می خواهد تا توجّه جهان ریاضی را به اهمیّت کارهایش جلب کند. او حتّی در این نامه از ژاکوبی یا گاوس درخواست می کند که نظرشان را نه در مورد اهمیّت این قضایا ، بلکه در مورد اهمیّت آنها ، بیان کنند.

جمله معروف " من وقت ندارم " را گالوا در یک یادداشت حاشیه ای ، احتمالاً در شب قبل از دوئل ، در ارتباط با برهان گزاره دوّم خود که گفته است نیاز به تکمیل شدن دارد ، نوشته است. چون دیگر وقت کافی برای تکمیل آن برهان نداشت. گرچه در ابتدا ، اثباتش غلط به نظر می رسد.

او درباره دوئلی که فردای آن شب جان او را گرفت نیز می نویسد:

   « من قربانی یک زن عشوه گر گمنام شده ام... این یک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند ... آه! چرا باید برای یک چیز بی ارزش بمیرم ... »

سرانجام ، دوئل در 25 قدمی صورت گرفت. تیر به شکم گالوای بدشانس خورد و به زمین افتاد. ساعت ها در آنجا ماند تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد ، او را به بیمارستان برد.گالوا روز بعد ، یعنی 31 مه 1832 در سنّ 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

14 سال پس از مرگ گالوا یعنی در سال 1846 ، طرفداران اندکش موفق شدند مخاطبینی برای کارهایش پیدا کنند و به عمق کشفیات او تا حدودی دست یابند. قسمتی از نوشته هایش توسط ژوزف لیویل در مجله ریاضیات به چاپ رسید.

لیویل در اطلاعیه پیش از چاپ کارهای گالوا ، وقتی که فهمیده بود روش هاس گالوا درست بوده اند و می توان قضیه هایش را با دقّت زیاد اثبات کرد ، از آن به عنوان "یک لذّت جاوید در زندگی اش" یاد می کنند. پس از آن ، شناسایی و درک اهمیّت فراوان کارهایش به سرعت آغاز و احترام به گالوا بیشتر شد. شهرت گالوا 14 سال پس از مرگش آغاز شد. به طوری که در حال حاضر یکی از بزرگترین ریاضیدانان خلاّق تمام عصرها به شمار می آید.

او زنده نماند تا به گسترش عمیق تر کاربردها و توسعه ی نظریه خود که بعدها "نظریه گالوا" نام گرفت ، بپردازد. نظریه گالوا امروزه یکی از مباحث مهم و پرکاربرد جبر مجرد و نظریه گروه ها است. حتّی امروز ، ریاضیات در اثر حادثه غم انگیزی که برای او روی داده است ، احتمالاً بضاعت کمتری دارد.

 

زمینه تاریخی پارادوکس

پیدایش پارادوکس ها زمینه تاریخی دارد.برای فهم بهثر ان داستان زیر را ذکر میکنیم:
در یک روز جمعه دادگاه شخصی را به مرگ محکوم کرد. قاضی به زندانیِ محکوم گفت:

ظهریکی از روزهای هفته‌ی آینده حکم اعدام درباره‌ی تو اجرا خواهد شد، ولی ما آنروز را برای تو مشخص نخواهیم کرد و تو هرگز قبل از آن روز اطلاع پیدا نخواهی کرد و فقط شش ساعت قبل یعنی صبحِ روز اجرای حکم موضوع را به تو اطلاع خواهیم داد.

قاضیِ مذکور در همه‌ی عالم به ذکاوت و خوش‌قولی مشهور بود و همیشه دقیقاً به گفته‌ی خود عمل می‌نمود.

زندانی به همراهی وکیل مدافع خود به سلولش داخل شد و هر دو غمزده در گوشه‌ای به فکر فرو رفتند. ناگاه وکیل مدافع با لبخندی پیروزمندانه سکوت را شکست و گفت:

اجرای حکم قاضی امکان ندارد.

زندانی گفت:

من که چیزی سردر نمی‌آورم. چرا؟

وکیل مدافع پاسخ داد:

اجازه بده تا درست برایت شرح دهم: مسلماًً آن‌ها روز جمعه نمی‌نتوانند تو را اعدام کنند. به دلیلِ اینکه اگر فرضاً بخواهند در روز جمعه‌ی آینده حکم را اجرا نمایند. در این صورت تو تمام روزهای هفته و همچنین بعدازظهر پنج‌شنبه زنده خواهی بود و چون فقط روز جمعه یعنی یک روز دیگر به مهلت باقی مانده، بعد ازظهر پنج‌شنبه برای تو مسلم خواهد شد که فردا یعنی روز جمعه و تنها روز آخر هفته ، حکم اجرا خواهد شد. در نتیجه تو روز اجرای حکم را یک روز پیش‌تر پیش‌بینی و قبل از صبح جمعه از آن اطلاع حاصل کرده‌ای و این موضوع نقض حکم قاضی بوده و گفته‌ی او را بی‌اعتبار خواهد کرد.


زندانی گفته‌ی او را تصدیق کرد.وکیل مدافع ادامه داد:

بنابراین روز جمعه‌ی آینده از فهرستِ روزهای مهلت حذف و در آن روز حکم غیرقابل اجرا است. و اما روز پنج‌شنبه نیز نمی‌توانند تو را اعدام کنند چون در بعدازظهرِ چهارشنبه دو روز بیشتر به آخر هفته نمانده و چون روز جمعه از فهرست حذف شد ، تنها روز پنج‌شنبه آخرین روز اجرای حکم می‌باشد نتیجتاً بعدازظهر چهارشنبه تو خواهی دانست در روز پنج‌شنبه که آخرین روز امکان اجرای حکم است، تو را اعدام خواهند کرد. اطلاع تو یک روز پیشتر از اجرای حکم مجدداً متناقض با حکم قاضی است. بنابراین پنج‌شنبه نیز حکم غیرقابل اجرا است. چهارشنبه نیز امکان اجرای حکم وجود ندارد چون جمعه و پنج‌شنبه حکم غیرقابل اجرا شد و فقط چهارشنبه آخرین روز اجرای حکم تشخیص داده شد و تو که بعدازظهر سه‌شنبه هنوز زنده هستی، اجرای حکم روز چهارشنبه را پیش‌بینی خواهی کرد و از آن اطلاع خواهی یافت.

در این موقع که زندانی از حالت غمزدگی بیرون آمده بود با لبخندی مسرت‌بخش گفت:

پس به هر طریق می‌توان گفت که روز سه‌شنبه و سپس دوشنبه و بالاخره یک‌شنبه نمی‌توانند مرا اعدام کنند و فقط فردا یعنی شنبه باقی است. و اما فردا نیز اجرای حکم برای آنها غیرممکن است چون در این صورت من امروز موضوع را خواهم فهمید.


ملاحظه می‌شود از لحاظ منطقی هیچ تناقضی در حکم قاضی جهت اعدام زندانی وجود ندارد با این وجود حکمش غیرقابل اجرا است. به دلایل بالا به نظر می‌آید که حکم قاضی باعث نقض حکم خودش شده است، اگر حکم را اجرا کند خلاف حکم خودش شده است، اگر حکم را اجرا کند خلاف حکم خود عمل کرده و اگر اجرا نکند باز هم خلاف حکم خود رفتار نموده.


روایت دیگری از این پارادکس از یک اعلامیه‌ی فرمانده‌ی نظامی گفتگو می‌کند که در آن ذکر شده:

برای تمرین ، در یکی از شبهای هفته‌ی آینده آژیر خطر کشیده خواهد شد. شب تمرین در شش بعدازظهر همان روز به اطلاع عامه خواهد رسید و تا شش بعدازظهر کسی از شب موعود مطلع نخواهد شد.


به ظاهر چنین به نظر می رسد که خود این اعلامیه ثابت می‌کند که تمرین هرگز انجام نخواهد گرفت. به زبان دیگر اجرای تمرین عملی نیست مگر این که به متن اعلامیه عمل نشود.

پارادوکس درریاضی

در ریاضیات نیز میتوان به یک پارادوکس مهم در نظریه مجموعه ها به نام پارادوکس راسل اشاره کرد:
مجموعهA را مجموعه ای تعریف می کنیم که شامل اعضای خود نباشد .یعنی

در این صورت اگر انگاه

اگر انگاه

که این پارادوکس از معروفثرین پارادوکس ها در نظریه مجموعه هامی باشد .

بی نهایت در ریاضیات چیست؟

 

بی‌نهایت در رياضي به چه معناست ؟

---

بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات است.

در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بی‌کران است. [img][/img] یعنی متغیر x فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.

در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته ايكس به سوي بي نهايت یعنی قدر متغیر مختلط x (که آن را با | x | نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.

در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می‌‌خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.

مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌‌گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.

به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.


اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌‌گیریم و می‌‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.


این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.

یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت درآن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.

 

منتظر نظر شما دوستان هستم.

اعداد مختلط  (قسمت دوم)

یک عدد مختلط به صورت یا تعریف می‌شود که در آن

دو عدد حقیقی اند.در این نمایش را واحد موهومی می‌نامند و دارای خاصیت

 می‌باشد.
را قسمت حقیقی عدد و را قسمت موهومی آن گویند و به ترتیب با و نمایش می‌دهند.

مزدوج عدد مختلط

را مزدوج نامیده و با نمایش می‌دهند . به عبارت دیگر مزدوج عبارت است از .

تساوی دو عدد مختلط

دو عدد مختلط و را مساوی گویند ، اگر و فقط اگر و.

نکته

می توانیم مجموعه اعداد حقیقی را زیرمجموعه اعداد مختلط در نظر بگیریم. چرا که اگر ، آنگاه یک عدد حقیقی خواهد بود. حال اگر باشد ، را یک عدد موهومی محض نامند.

عملیات اساسی با اعداد مختلط

 

 

 

شکل مثلثاتی یا قطبی اعداد مختلط

اگر نقطه ای از صفحه مختلط ، متناظر به عدد یا باشد ، آنگاه طبق شکل داریم

که در آن را قدر مطلق یا نرم یا مدول عدد مختلط گویند و با یا نشان می‌دهند و را آرگومان یا فاز عدد گویند و با نمایش می‌دهند که زاویه بین با جهت مثبت محور ها است. لذا خواهیم داشت :

وآن را شکل مثلثاتی یا قطبی عدد مختلط گویند و را مختصات قطبی نامند . اغلب ترجیح داده می‌شود به جای عبارت از نماد استفاده شود.

قضیه دموآر

اگر به ازای داشته باشیم آنگاه روابط زیر برقرارند:

 

و از تعمیم آن خواهیم داشت:

 

ریشه های اعداد مختلط

عدد مختلط را ریشه ام عدد مختلط گویند ، اگر باشد و می‌نویسند.اگر عددی صحیح و مثبت باشد ، می‌توان به کمک قضیه دموآر نشان داد که:

از اینجا نتیجه می‌شود که مقدار مختلف برای وجود دارد. یعنی به شرط ناصفر بودن ،ریشه ام مختلف دارد.

فرمول اویلر

می دانیم که:

اگر قرار دهیم و نتیجه را مرتب کنیم ، خواهیم داشت:

که این فرمول را فرمول اویلر گویند . در حالت کلی :

 

منتظر نظر شما دوستان هستم.

اعداد مختلط

اعداد مختلط (قسمت اول)

آشنایی با اعداد انگاری

یکی از مهمترین ویژگیهای اعداد حقیقی این است که در آنها اعمال: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به استثنای تقسیم برصفر) را می توان انجام داد. بدین سبب است که معادله خطی کلیرا می‌توان در حوزه اعداد حقیقی حل کرد و چنین نوشت: . ولی وضعیت در مورد معادله درجه دوم کاملاً‌ متفاوت است. به عنوان مثال معادله درجه دومرا در حوزه اعداد حقیقی نمی‌توان حل کرد ورا به دست آورد. مربع یک عدد حقیقی نمی‌تواند عددی منفی باشد. بنابراین به ازای هر عدد حقیقی ،
از این رو به ازای هر عدد حقیقی، معادله ممتنع است. در چنین وضعیتی حوزه دستگاه اعداد حقیقی را طور توسعه می‌دهیم که چنین معادله‌ای حل شدنی باشد. مثلاً‌ برای یک طفل دبستانی که فقط اعدادی درست مثبت را می‌شناسد معادله ای مانند3= +7 نا معقول می‌نماید. و برای کسانی که فقط اعداد صحیح را می‌شناسد معادله‌های و جواب ندارند. اما با توسیع دستگاه اعداد به صورتی که اعدادی منفی، کسری و اصم را نیز در برگیرد، این معادلات به ترتیب جوابهای را خواهند داشت.
وضعیت برای معادلهتقریباً‌ همین طور است. دستگاه اعداد را چنان توسعه می‌دهیم تا اعدادی مثل ، یعنی عددی را که مربعش 1- است،‌ نیز در بر گیرد. این گونه اعداد با احساس شهودی ما اصلاً‌ جور در نمی‌آیند و در گذشته بسیاری از ریاضیدانان با معرفی این گونه هیولاها مخالفت داشتند و از این رو آنها را اعداد انگاری نامیده اند. وضعیت تا سده هیجدهم به همین منوال بود تا اینکه لئونهارت اویلر (1707-1783) با کارهای استادانه روی اعداد انگاری نتایج متعدد جالبی بدست آورد. ک.ف گاوس(1777- 1855 ) با معرفی اعداد انگاری به صورت نقاط یک صفحه نام تازه اعداد مختلط را بر آنها نهاد و از آنها برای یافتن نتایجی چشمگیر از نظریه اعداد استفاده نمود. از این طریق عضویت اعداد مختلط را در سلسه اعداد مسجل ساخت. تقریباً در همان زمان اُ.ل. کوشی ( 1789 – 1857 )، هنگام تلاش در پیدا کردن روشی یکنواخت برای محاسبه انتگرال های معین،‌حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع با متغیرهای مختلط را بررسی کرد. این امر سرآغاز نظریه توابعی بود که زمینه مساعدی برای کشف توابع بیضوی از سوی ن.ه. آبل (1802 – 1829 ) و کارل گوستاو یاکوبی (1804 – 1851) را فراهم ساخت. علاوه بر این،‌ بسط هندسه تصویری نشان داد که استفاده از اعداد مختلط در هندسه نیز امری اجتناب ناپذیر است. پیشرفت تحقیقات روشن کرده است که برای اینکه ریاضیات، حتی فقط حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خوبی بفهمیم، محدودیت غیر طبیعی حوزه اعداد حقیقی به ما حکم می‌کند که برای دستیابی به مفاهیم یکنواختی و همسازی، اعداد مختلط را نیز دخالت دهیم.
رسم بر این است که ، حرف اول واژه (انگاری) را برای به کار می‌بریم. بدین ترتیب اعداد مختلط اعدادی هستند به شکل که اعدادی هستند حقیقی و محاسبه با آنها همانند محاسبه با اعداد حقیقی است، ‌با در نظر گرفتن اینکه به جای باید،1- قرار داد. مثلاً

منظوراز تقسیم دو عدد مختلط یعنی یافتن عددی است مثل که در تساوی

صدق نماید،‌ پس از محاسبه رابطه بالا داریم

پس کافی است اعداد را چنان پیدا کنیم که در روابط صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد.

مگر آنکه . بنابراین

البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر در نیز به دست آوریم.
اما چرا چنین اعمالی موجه‌اند؟ آیا جمع یک عدد حقیقی با یک عدد انگاری ویافتن همانند حاصل جمع با 4 کیلوگرم و یافتن نیست؟ همین طور، ، دو جواب دارد ولی کدامیک از آنها است؟ توجه کنید که نیز دو جواب دارد که جواب دارد که جواب مثبت آن 1 است و جواب دیگر آن 1- . اما آیا گفتن نامثبت است معنی دارد؟

تعریف اعداد مختلط

برای پاسخگویی به ایراد اخیر،‌ اکنون تعریفی صوری از اعداد مختلط ارائه می‌دهیم. ولی ابتدا ویژگیهای دستگاه حقیقیرا یاد آور می‌شویم.
I .ویژگیهای مربوط به عمل جمع
دو عدد حقیقی دلخواه و عدد سوم یکتایی را عین می کنند به نام مجموع آنها که با نمایانده می‌شود،‌ با ویژگیهای زیرین:
: قانون جابجایی : به ازای هر دو عدد ،
: قانون شرکتپذیری: به ازای هرسه عدد،
: عنصر همانی در جمع : عدد حقیقی یکتایی که بانمایانده می‌شود وجود دارد چنان که:
به ازای یک مقدار
: عکس جمعی :‌ به ازای هر عدد ، منحصراً یک عدد وجود دارد چنان که:
این جواب یکتا را با نمایش می‌دهند.
II .ویژگیهای مربوط به عمل ضرب
دو عدد حقیقی دلخواه منحصراً‌ یک عدد سومی به نام حاصلضرب را مشخص می‌سازند که با نمایش داده می‌شود، با ویژگیهای زیرین:
: قانون جابه جایی: به ازای همه مقادیر ،
: قانون شرکت پذیری: به ازای همه مقادیر،
: عنصر همانی در ضرب: عدد حقیقی یکتایی وجود دارد که با 1 نمایانده می‌شود،‌ به طوری که به ازای همه مقادیر
: عکس ضربی: به ازای هر، با عدد یکتایی مانند وجود دارد چنان که:
این جواب یکتا را بایا نشان می‌دهند.
III .قانون توزیعپذیری
به ازای همه مقادیر
هر مجموعه ای که این ویژگیها را داشته باشد، هیات نامیده می‌شود. بدین ترتیب مجموعه اعداد حقیقی، یک هیات است. همین طور، مجموعه مرکب از تمام اعداد گویا یک هیات است، ولی نه مجموعه همه اعداد درست یک هیات تشکیل می‌دهند و نه مجموعه اعداد طبیعی .
در بخش قبل گفتیم اعداد مختلط به صورت هستند که اعدادی حقیقی اند. از این رو اساساًً اعداد مختلط عبارت اند از زوج اعداد حقیقی . بدین ترتیب یک تعریف رسمی به صورت زیر در می‌آوریم.

تعریف 1.

یک عدد مختلط زوج مرتباز اعداد حقیقی است با ویژگیهای زیر: دو عدد مختلط فقط و فقط وقتی برابرند که . مجموع و حاصلضرب دو عدد مختلط چنین تعریف می‌شوند:


توجه کنید که تعریف تساوی اعداد مختلط ویژگیهای زیر را دارد:
الف.انعکاسی: به ازای هر عدد مختلط ،
ب.تقارن:
ج.ترایایی :

قضیه1.

بااعمال جمع و ضرب به صورتی که در بالا تعریف شدند، مجموعه مرکب از همه اعداد مختلط یک هیات تشکیل می‌دهند.
برهان. یک تمرین عملی است.
حال اعداد مختلط به شکل را در نظر می‌گیریم، پس

( به شرط اینکه )
که همانند اعمال میان دو عدد حقیقی هستند. به عبارت دیگر اگر عدد مختلط را به عنوان عدد حقیقی در نظر بگیریم هیچگونه اختلافی پیش نخواهد آمد. درنتیجه اعداد حقیقی را اعداد مختلط خاصی می‌گیریم که مولفه دوم آنها صفر هستند.
اکنون عدد مختلط را در نظر می‌گیریم. داریم

یعنی عدد مختلط متناظر با در بخش قبلی است. طبیعی است که مربع نیز 1- است،‌ ولی چنانچه بنویسیم ، آن گاه عدد مختلط دلخواه را می‌توانیم چنین بنویسیم

که توجیه کننده عدد مختلطاست.
عدد مختلط را واحد انگاری می‌نامند. پس در هر عدد مختلط، را جزء حقیقی عدد مختلط می‌نامند و آن را با نمایش می‌دهند؛ همین طور را جزء انگاری عدد خواننده و آن را با نشان می‌دهند. از این رو اعداد حقیقی،‌ اعداد مختلطی هستند که جزء انگاری آنهااست. از سوی دیگر اعداد مختلطی را که جزء حقیقی شان باشد اعداد انگاری محض می‌نامند. دقیقاً‌ توجه نمایید که هر دو جزء حقیقی و انگاری اعداد مختلط،‌ اعداد حقیقی‌اند.
برای یک عدد مختلط عدد مختلط را مزدوج مختلطیا مزدوج عدد مختلطمی نامند و آن را با نمایش می دهند. به آسانی می‌توان روابط زیررا تحقیق نمود:

برای هر عدد مختلط ، حاصلضرب همواره عددی حقیق و نامنفی است. ریشه دوم نامنفی این عدد را کالبد یا قدر مطلق عدد مختلط گویند و آن را با نمایش می‌دهند. از این رو

قضیه 2.

، اگر و فقط اگر .
برهان.
می‌نویسیم ، پس بنابراین

اما به ازای هر دو عدد حقیقی ، بنابراین

توجه کنید که در اینجا ما از این واقعیت که اعدادی حقیقی هستند استفاده نمودیم. در غیر این صورت مستلزم تساوی های نیست. مثلاً‌ اگر بنویسیم ، آنگاه ولی نه تساوی برقرار است و نه تساوی .
به آسانی می‌توان ثابت نمود که:

( به خصوص)
( به شرط )

قضیه 3.

به ازای هر دو عدد مختلط

و یا هم ارز با آن

برهان.
بنابر قضیه قبلی

چون اعداد حقیقی اند

توجه. در مجموعه ای که عمل ضرب در آن تعریف شده است، اگر ولی و ، آنگاه را مقسوم علیه های صفر گویند. قضیه قبلی مبین آن است که هیات اعداد مختلط مقسوم علیه صفر ندارد.
دستگاههایی جبری وجود دارند که مقسوم علیه های صفر دارند. به طور مثال مجموعه همه ماتریسهای به صورت

را در نظر می‌گیریم. جمع و ضرب در این مجموعه به ترتیب چنین تعریف می‌شوند.

عنصر صفر عبارت است از

پس با اینکه

ولی داریم

باید توجه داشت که در اثبات این قضیه از این موضوع استفاده شده است که هیات اعداد حقیقی ، مقسوم علیه صفر ندارد.

---

اهمیت اعداد مختلط

در بخش قبل دیدیم که هر معادله درجه دوم در هیات اعداد مختلط جوابهایی دارد. اما در مورد معادله‌های درجه سوم، درجه چهارم و غیره چه؟ آیا هر بار که با معادله های درجه بالا سروکار داریم باید دستگاه اعداد را توسعه دهیم؟ یکی از زیباییهای دستگاه اعداد مختلط در معتبر بودن قضیه زیر است.

قضیه 4. ( قضیه بنیادی جبر ). معادله چند جمله یی :

که در آن ، در جواب دارد. به عبارت دیگر
• از لحاظ جبری بسته است
معادله بالا را معادله چند جمله یی از درجه ( هنگامی که ) گویند. از قضیه بنیادی جبر نتیجه می‌شود که:

فرع 1.

معادله چند جمله یی، درجه ، با احتساب ریشه های مکرر،‌ ریشه در دارد.

مثال.

معادله درجه سوم را حل کنید.
حل.
می‌نویسیم ، پس، چون

باید داشته باشیم

از معادله اول نتیجه می‌شود

پس

یا

وقتی ، از معادله دوم نتیجه می‌شود:

چون ، ، لذا . هنگامی که ، . از قرار دادن این مقدار در معادله دوم خواهیم داشت

چون ، و لذا پس

و

بنابراین سه ریشه به دست می‌آید

ک.ف گاوس (1777-1855 ) دررساله اش چندین استدلال برای قضیه بنیادی جبر داده است. خوانندگان علاقه مند به این استدلالها می‌توانند به کتابهای درسی استانده در آنالیز مختلط مانند: آنالیز مختلط اثر باک و نیومن و جاذبه‌های آنالیز مختلط اثر بوآز مراجعه نمایند.
باید توجه داشت که قضیه بنیادی جبر به وجود جوابها درحکم می‌کند ولی از چگونگی پیدا کردن آنها صحبتی به میان نمی‌آورد. در واقع هیچ گونه دستور جبری کارساز برای یک چند جمله یی غیر مشخصی از درجه 5 ( یا بالاتر ) وجود ندارد .

 

کاربردی از ریاضیات در طراحی جاده ها و خطوط راه آهن

روزبه ابرازی

 

قطار های مدل اغلب داری دو نوع ریل هستند : ریل های خمیده ، که در بیشتر اوقات کمان هایی از یک دایره به شعاع R هستند ، و ریل های راست.  این ریل ها عمدتا طوری طراحی شده اند که به شکل زیر سرهم بندی می شود 
مسیر های AB و  CDمستقیم و مسیرهای BC و  DAنیم دایره هستند.اما آیا این مسیر ها به اندازه کافی خمیده هستند ؟!
مسیر های طراحی شده بوسیله اصطکاک پایدار می ماند و اغلب ممکن است در هنگام عبور قطار از روی آنها جدا شوند.اگر چه ممکن است در وسط مسیر های خمیده یا مسیر های مستقیم اتصالات دیگری نیز وجود داشته باشد ولی در بیشتر مواقع مسیر کلی از نقاط A,B,C,D جدا می شود .
برای بررسی این اتفاق تصور کنید قطاری با سرعت  ثابت  در حال حرکت است بنابراین شتاب مماس آن یعنی  صفر است و در نتیجه شتاب کلی آن تنها شتاب مرکز گرای آن   است( شعاع خمیدگی مسیر است که برای شکل بالا بر روی مسیر خمیده مقداری برابر R دارد).بنابراین اندازه شتاب بر روی مسیر مستقیم صفر است و در مسیر نیم دایره  است.به این دلیل مقدار شتاب در نقاط A,B,C,D نا پیوسته است (همانطور که در نمودار مشخص است). همین نا پیوستگی سبب می شود تا نیروی عکس العملی که از جانب قطار به ریل وارد می شود نیز در این نقاط نا پیوسته باشد . به همین دلیل نوعی شوک یا ضربه به هنگام وارد شدن و یا ترک پیچ وجود دارد ( البته حتما اثر این ضربه را در پیچ های غیر اصولی هنگام عبور خودرو و یا برعکس نیروی نرم و یکنواختی را در هنگام سفر در داخل مترو حس کرده اید) برای جلوگیری از بوجود آمدن چنین نقاط فشاری که موجب خروج قطار از ریل و یا خروج خودرو از جاده می  شود مسیرها می بایست طوری طراحی شوند که خمیدگی جاده بطور یکنواخت تغییر کند.( البته این طراحی بطور نسبی و با توجه به شرایط محیطی و کمک گرفتن از شیب و اتصالات قوی تر نیز قابل بهبود است )

مثال : مسیری در امتداد  منفی محور x ها و مسیر دیگری در امتداد شعاع y=x-1 ، x≥2 وجود دارد می خواهیم این دو مسیر را با استفاده از منحنی  چند جمله ای f، به اندازه کافی خمیده و با حد اقل درجه ،  طوری بهم وصل کنیم که هیچ گونه نا پیوستگی شتاب در نقاط اتصال احساس نشود.

راه حل : منحنی f باید طور انتخاب شود که مسیر ، شیب و خمیدگی آن در نقاط  x=0 و x=2  پیوسته باشد.(همانطور که می دانیم خمیدگی عکس شعاع خم است )از آنجا که خمیدگی ( curvature ) منحنی f بصورت زیر است

 
و f چند جمله است ما تنها نیاز داریم f و  'f و ''f در نقاط اتصال به y=0 ، x≤0 و y=x-1 ، x≥2 مقادیر y و  'y و ''y را داشته باشد تا پیوستگی های مورد نظر اعمال شود یعنی هم مسیر پیوسته شود و هم از پیوستگی f' و f'' پیوستگی   نتیجه شود و بنابراین   و شتاب کل   پیوسته می شود.

y(0)=f(0)=0    y'(0)=f'(0)=0   y''(0)=f''(0)=0
y(2)=f(2)=1    y'(2)=f'(2)=1  y''(2)=f''(2)=0

این شش شرط مستقل به ما چند جمله ای درجه  5 را پیشنهاد می کند :

f(x)=A+Bx+Cx²+Dx³+Ex⁴+Fx⁵
f'(x)=B+2Cx+3Dx²+4Ex³+5Fx⁴
f''(x)=2C+6Dx+12Ex²+20Fx³

سه شرط x=0 ، A=B=C=0 را نتیجه میدهد و برای سه شرط x=2 داریم :

8D+16E+32F=f(2)=1
12d+32E+80F=f'(2)=1
12D+48E+169F=f''(2)=0

که عدد های D=1/4 و E=-1/16 و F=0 را نتیجه می دهد و در نتیجه جواب :

که در نهایت مسیر کلی بصورت زیر است:

 
است. البته طراحان جاده ها و سازندگان ریل قطار ها اغلب از چند جمله ای ها برای اتصال استفاده نمی کند و در عوض از خم های clothoid و Lemniscat استفاده می کنند. چرایی استفاده از خم های بالا نیز به خواص جالب آنها بر می گردد که خود قبل تامل می باشد! 

 منبع:www.amath.blogfa.com

 

یک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟

یک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟

شاید تا کنون شده باشد که در مواقعی که بیکار هستید یا اینکه انتظار خبر مهمی را می کشید برای سرگرم کردن خودتان کاغذی را که در اطرافتان هست بردارید و شروع به تا کردن آن کنید و بعد از چند بار متوجه شوید که دیگر نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید... البته ممکن است قبل از اینکه به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود  و کاغذ را به جای اولش برگردانید !!!

این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشیم.

اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از 7 یا 8 بار نمی توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از7 یا 8 بار بسیار سخت است.  آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت.
با هر تا کردنی ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت خواهد بود و البته مشخص است که پهنا می شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر می شود.
اگر با کاغذی به پهنای 11cm و ضخامت 0.002cm این کار را انجام دهید بعد از 7 بار تا کردن نسبتt/w برابر 1/6 می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.

چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی زا 12 بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

این به این معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June 2002 گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد.

تاریخچه ی عدد صفر

    تاریخچه ی عدد صفر

 يکي از معمول ترين سوال هايي که مطرح ميشود اين است که: چه کسي صفر را کشف کرد ؟ البته براي جواب دادن به اين سوال به دنبال اين نيستيم که بگوييم شخص خاصي صفر را ابداع کرد و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده ميکردند.

     اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقي مي شود. يکي از کاربرد هاي عدد صفر اين است که به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) به کار مي رود. بنابر اين در عددي مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که به طور قطع اين عدد با عدد ۲۱۶ کاملا متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد به کار مي رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده مي کنيم.

    هيچکدام از اين کاربرد ها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر به طور واقعي بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعي دارند. به طور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ...به کار مي بردند و در اين گونه مسايل هيچگاه به مساله اي برخورد نمي کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.

    بابلي ها تا مدتها در جدول ارزش مکاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول به کار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي که آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده کردند گيومه (") مثلا عدد ۶"۲۱ نمايش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته بايد در نظر داشت که از علا‌‌ئم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدند بلکه هميشه بين دو عدد قرار مي گرفتند. به طور مثال عدد "۲۱۶ را با اين گونه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم که کاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلا به عنوان يک عدد نبوده است.

     البته يونانيان هم خود را از اولين کساني مي دانند که در جاي خالي از صفر استفاده مي کردند. اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساسا دستاورد هاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است که رياضيدانان يوناني از اعداد نام ببرند؛ زيرا آنها اعداد را به عنوان طول خط مورد استفاده قرار ميدادند.

     البته بعضي از رياضيدانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتي اشاره مي کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت  0 را براي آن اتخاذ کردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را به کار بردند و قبل از اين که سر انجام عدد صفر جاي خود را به دست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

     هنديان کساني بودند که پيشرفت چشمگيري از اعداد و جدول ارزش مکاني اعداد ايجاد کردند. هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي کردند.

     اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسي قرار مي دهيم: اولين نکته اي که مي توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد به طور معمول نمي باشد. از زمان هاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي که از ويژگي هاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممکن شد. هنگامي که فردي تلاش مي کند تا صفر و اعداد منفي را به عنوان عدد در نظر بگيرد با اين مشکل مواجه مي شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل ميکند. رياضيدانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سوالات پاسخ دهند و در اين زمينه نيز تا حدودي موفق بوده اند.

      اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکاي مرکزي زندگي مي کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي کردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را به کار مي بردند.

      بعد ها نظريات رياضيدانان هندي علاوه بر غرب، به رياضيدانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيوناچي، مهم ترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.

یک پارادکس 

با توجه به شكل 65 با 64 برابر است.

نظر شما درباره اين اثبات چيست؟

منطق فازی

 

منطق فازي و دانشمندي بنام پرفسور لطفي زاده

منطقي كه تكنيك را هوشمند كرد 



پروفسور "لطفي زاده" كه در جهان علم به پروفسور "زاده" مشهور است، مخترع منطق علمي نوين "فازي" است، كه جهان صنعت را دگرگون كرد.

امروزه هيچ دستگاه الكترونيكي، از جمله وسايل خانگي بدون اين منطق در ساختار خود ساخته نمي شوند. با منطق فازي پروفسور لطفي زاده، ابزار هوشمند مي شوند و توانايي محاسبه در آنان نهادينه مي شود.

از شوروي به تهران، از تهران به آمريكا

او در سال 1921 در شهر باكو در جمهوري آذربايجان به دنيا آمد. پدرش يك ژورناليست ايراني بود كه در آن زمان به دلايل شغلي در باكو بسر مي برد و مادرش يك پزشك روس بود.

وي ده ساله بود كه در اثر قحطي و گرسنگي سراسري پديد آمده در سال 1931، به اتفاق خانواده به وطن پدري اش ايران بازگشت. لطفي زاده در دبيرستان البرز تهران، تحصيلات متوسطه را به پايان رساند و در امتحانات كنكور سراسري، مقام دوم را كسب نمود. در سال 1942 رشته الكترونيك دانشگاه تهران را با موفقيت به پايان رساند و در طي جنگ دوم جهاني براي ادامه تحصيلات به آمريكا رفت.

او در سال 1946 موفق به اخذ مدرك ليسانس از دانشگاه ماساچوست شد. در سال 1949 به دريافت مدرك دكترا از دانشگاه كلمبيا نائل شد و در همين دانشگاه با تدريس در زمينه "تئوري سيستم ها" كارش را آغاز كرد. او در سال 1959 به بركلي رفت تا به تدريس الكتروتكنيك بپردازد و در سال 1963 ابتدا در رشته الكتروتكنيك و پس از آن در رشته علوم كامپيوتر كرسي استادي گرفت.

لطفي زاده به طور رسمي از سال 1991 بازنشسته شده است، وي مقيم سانفرانسيسكو است و در آنجا به پروفسور "زاده" مشهور است. لطفي زاده به هنگام فراغت به سرگرمي محبوبش عكاسي مي پردازد. او عاشق عكاسي است و تاكنون شخصيت هاي معروفي همچون روساي جمهور آمريكا، ترومن و نيكسون، رو به دوربين وي لبخند زده اند.

سرگرمي ديگر لطفي زاده "HI FI" است. او در اتاق نشيمن خود بيست و هشت بلندگوي حساس تعبيه نموده تا به موسيقي كلاسيك با كيفيت بالا گوش كند.

پروفسور لطفي زاده داراي بيست و سه دكتراي افتخاري از دانشگاه هاي معتبر دنياست، بيش از دويست مقاله علمي را به تنهايي در كارنامه علمي خود دارد و در هيئت تحريريه پنجاه مجله علمي دنيا مقام "مشاور" را داراست.

تئوري منطق فازي در يك نگاه

بر خلاف آموزش سنتي در رياضي، او منطق انساني و زبان طبيعت را وارد رياضي كرد. شايد بتوان با دو رنگ سياه و سفيد مثال بهتري ارائه داد. اگر در رياضي، دو رنگ سياه و سفيد را صفر و يك تصور كنيم، منطق رياضي، طيفي به جز اين دو رنگ سفيد و سياه نمي بيند و نمي شناسد. ولي در مجموعه هاي نامعين منطق فازي، بين سياه و سفيد مجموعه اي از طيف هاي خاكستري هم لحاظ مي شود و به اين طريق فصل مشترك ساده اي بين انسان و كامپيوتر بوجود مي آيد.

اين منطق حدود چهل سال پيش در آمريكا توسط لطفي زاده پايه ريزي شد. و براي اولين بار در سال 1974 در اروپا براي تنظيم دستگاه توليد بخار، در يك نيروگاه كاربرد عملي پيدا كرد. با پيشرفت چشمگير ژاپن در عرصه وسايل الكترونيكي، در سال 1990 كلمه "فازي" در آن كشور به عنوان "كلمه سال" شناخته شد.

سخنراني لطفي زاده در دانشگاه صنعتي برلين

دعوت نامه رئيس دانشگاه صنعتي دانشگاه برلين به اشكال مختلف در ميان دانشجويان و مطبوعات و وسايل ارتباط جمعي به چشم مي خورد. كاغذهاي زرد رنگ در قطع كوچك در ميان دانشجويان دست به دست مي گشت و وعده ديدار با دانشمند بزرگي را مي داد.

در قسمتي از دعوت نامه نوشته شده : "باني تئوري منطق فازي به برلين مي آيد: پروفسور لطفي زاده درباره تئوري جهاني خود كه در سال 1965 تدوين شده و كاربرد جهاني آن در اتومبيل، موبايل، لباس شويي و غيره، و در خطوط متعدد توليد، و روش هاي متديك ديگري كه امروزه در امور اعتباري و نرم افزارهايي كه به اين سياق كار مي كنند سخنراني خواهد كرد.

پيش از برپايي سخنراني، راديوها و روزنامه هاي مختلف و از جمله انجمن مهندسين آلمان سئوالات خود را با لطفي زاده مطرح كردند. خبرنگاري كه ميكروفن حساسي در دست داشت، از كاربرد منطق فازي در تكنيك امروزي پرسيد؛ پروفسور لطفي زاده به ميكروفن خبرنگار اشاره كرد و گفت: "اتفاقأ اين حساسيتي كه در ميكروفن شما بكار گرفته شده تا صداي موضعي را تشخيص دهد و صداي محيط پيرامون را منعكس نكند، نظام منطق فازي را در خود مستتر دارد."

رئيس دانشگاه در اتاق ويژه مهمانان، ضمن خوشامد به لطفي زاده گفت: "من رياضي دان هستم، و از زماني كه با رياضيات مأنوسم با اسم و رسم شما هم آشنايي دارم، و از پروفسور كنعاني رئيس كانون مهندسين و متخصصين ايراني در آلمان، كمال تشكر را دارم كه فرصت ديدار با ايشان را بوجود آورد."

پس از آن از طرف رياست دانشگاه، از پروفسور لطفي زاده دعوت شد تا در دفتر يادبود طلايي دانشگاه كه يادگار مخترعين بزرگ از جمله اولين مخترع كامپيوتر (كنراد سوزه) را در خود دارد، نام خود را ثبت كند. و به رسم يادبود كتاب زيبايي كه دانشگاه فني برلين به مناسبت يكصد و بيست و پنج سالگي تاسيس اين دانشگاه منتشر شده بود با عنوان "بزرگاني كه ما بر دوش آنان ايستاده ايم" به آقايان لطفي زاده و ناصر كنعاني اهدا گرديد.

پس از آن ناصر كنعاني به زبان انگليسي به معرفي لطفي زاده پرداخت. سپس مبتكر منطق فازي سخنراني خود را در باره پيدايش منطق فازي و گفتاري پيرامون نظرات مخالف و موافق آن و تكميل و پيشرفت روز افزون اين تئوري به مدت يكساعت و نيم ايراد كرد.

انتقاد لطفي زاده از رفتار اروپا با دانشمندان مهاجر

در فرصتي كوتاهي كه دست داد، با پروفسور لطفي زاده گفتگويي داشتم. او گفت: "خوشحالم بعد از بيست و دو سال بار ديگر به برلين آمدم. اول از همه ديدار ايرانيان برلين برايم جالب بود. از برلين خوشم آمده؛ از خيابان هاي پهن آن خوشم آمده، و از اين كه در اين شهر آسمان خراش وجود ندارد بسيار لذت بردم… من فوق العاده خوشحالم كه در اين جا هستم و با اين استقبال گرم مواجه شدم. تنها پشيماني ام اين است كه نمي توانم آن طور كه بايد و شايد فارسي صحبت بكنم. و مجبورم به انگليسي با شما حرف بزنم، به همين جهت بايد از شما عميقأ عذرخواهي كنم كه فارسي من خيلي خوب نيست، فهميدن فارسي براي من مشكل نيست، ولي صحبت كردن برايم كمي سخت است."

لطفي زاده در اشاره به تفاوت پذيرش ايرانيان مهاجر در اروپا و آمريكا مي گويد: "مي خواهم مقايسه اي كنم بين جامعه ايراني ها در آمريكا، كانادا، و برلين. دلم مي خواهد در رابطه با كانادا صحبت كنم كه چندي پيش از طرف جامعه مهندسين كانادا به آنجا دعوت شده بودم. يك فرق اساسي وجود دارد كه ايراني هايي كه مقيم كانادا هستند براي دولت كار مي كنند. ولي آنچه در برلين متوجه شدم، اين است كه ايراني ها يا در صنايع، و يا در دانشگاه ها كار مي كنند و نديدم كه يك ايراني در استخدام دولت آلمان باشد. به گمان من اين موضوع مربوط مي شود به اينكه آلمان يك جامعه سنتي است و يك فرق اساسي بين خارجي ها و آلماني ها وجود داشته و دارد. من اگر آن موقع، به جاي آمريكا به آلمان مي آمدم، بعيد مي ديدم كه در آلمان استاد دانشگاه مي شدم. و اين مسئله فقط مربوط به آلمان نيست، مربوط به تمام كشورهاي اروپايي است و اين تفاوت بين خارجيان وجود دارد."

لطفي زاده مي گويد: " شصت سال پيش، زماني كه به آمريكا رفتم، اوضاع خيلي بدتر از اين بود، و حتا اگر فردي نام خارجي مي داشت مي توانست سرآغاز مشكلات براي او باشد و با اين اسم شما نمي توانستيد شغلي بگيريد. به خاطر دارم زماني كه در ايران بودم و به دبيرستان البرز مي رفتم، به يك آمريكايي گفتم كه مي خواهم براي ادامه تحصيلات به آمريكا بروم؛ و در جواب به من گفت كه تو ديوانه اي! و من نفهميدم كه چرا به من گفت ديوانه. وقتي رسيدم به آمريكا متوجه شدم كه او حق دارد، چرا كه ما نمي توانيم شغلي داشته باشيم؛ كاملأ غير ممكن بود. تقريبأ آن زمان مثل الان آلمان بود." به فارسي مي افزايد: نه نه، خيلي هم بدتر.

ارتقاي اجتماعي دانشوران مهاجر در آمريكا و كانادا

به نظر او اوضاع در كانادا و آمريكا امروزه عوض شده است ولي مهاجران همچنان با محدويت در ارتقاي اجتماعي روبرويند: "امروز به هر كجا كه مي روي مي تواني حضور خارجيان را ببيني...در آمريكا اوضاع به گونه اي ست كه شما مي توانيد مدارج ترقي را طي كنيد، ولي در مرحله اي خارجي بودن باعث توقف مي شود. شايد بتوانيد رئيس دانشكده بشويد، ولي رئيس دانشگاه شدن تقريبأ غير ممكن است. افراد زيادي هم در استخدام دولت آمريكا نيستند ولي در كانادا وضع به شكل ديگري ست. به اين ترتيب من احساس مي كنم كه زندگي در آلمان خيلي مشكل تر است.

"اروپا در سير نزولي است"

او در ادامه از نگراني خود در باره آينده علمي اروپا مي گويد: "بايد فكر كرد كه اوضاع و احوال به چه جهت به اين جا كشيده است؟ ولي به تحقيق مي توانم بگويم كه اروپا در سير نزولي است . اگر آمريكا هم در سير صعودي مي بود، پيدا كردن شغل آسان تر مي بود. ولي الان آمريكا هم در سير نزولي است. علت اين است كه با كشورهاي آسيايي در رقابت هستند و آسيايي ها در سير ترقي هستند. مثلأ در آلمان توليدات رو به پايين حركت مي كند، و در بعضي كشورها سير نزولي شديدتر است مثل انگلستان.

پروفسور لطفي زاده در ادامه مي گويد: "از آنجا كه من به كشورهاي مختلف سفر مي كنم به تحقيق مي توانم بگويم كه اين معضل دست به گريبان همه كشورهاي اروپايي است. مثلأ در تركيه گاز و نفت وجود ندارد ولي در عوض توريست دارند. درآناتولي فقط پانصد هزار نفر در قسمت توريسم كار مي كنند. ولي از توريسم كه يك كشور نمي تواند ثروتمند شده و رشد كند.

"شكل گيري استعمار جديد در صنعت"

لطفي زاده عقايد اجتماعي خاصي دارد كه از حساسيت او به وضع كشورهاي كمتر توسعه يافته حكايت دارد. او مي گويد: "من به هر كشوري كه سفر مي كنم از استادان دانشگاه سئوال مي كنم كه آيا شما مي توانيد با پولي كه مي گيريد زندگي كنيد؟ در آلمان پاسخ مثبت است، ولي در ايران و ديگر كشورها از جمله بلغارستان، روماني، تركيه، لهستان، پاسخ منفي است. و اين براي پيشرفت علم و دانش مناسب نيست و بايد كاري انجام داد."

"به طور كلي آنچه در مورد كشورهاي جهان مي توان گفت اين است كه يك "نئو كلونياليسم" در حال شكل گيري است. در نتيجه يك كشوري مثل لهستان كه 84 درصد از صنعت خود را فروخته است؛ و حتا كار به خريد زمين هاي اين كشورها هم رسيده است، نتيجه اين كه افراد اين كشورها در آينده فقط براي آلمان و آمريكا كار خواهند كرد، نه براي خود."

"يادم مي آيد كه شاه به ايرانيان گفته بود كه حتا حاضر نيستم يك دلار قرض بگيرم و بايد كشورمان را خودمان بسازيم، ولي امروزه كشور ايران زير بار قرض و بدهكاري است. و به نظر من جهان از يك دوران خيلي سختي در حال گذر است و همه ما با اين مشكلات مواجه هستيم. و چه بسا مشكلات بزرگتري در روسيه وجود دارد."

امتياز چند فرهنگي بودن

لطفي زاده كه در فرهنگ هاي مختلف تركي و روسي و ايراني و آمريكايي باليده است اين را امتياز خود مي داند و مي گويد شما از اين طريق به طبيعت بشر بيشتر پي مي بريد: "براي مثال من پنج سال رئيس دانشكده بودم، و در بحث و نظر خواهي، نظرات آناني كه تك فرهنگي بودند، نسبي بود، ولي من هر نظري كه مي دادم به مرور زمان، درستي نظر من ثابت مي شد، براي اين كه من فرهنگ هاي مختلف را مي فهمم و درك مي كنم، در جايي كه مثلأ آمريكايي ها به علت تك فرهنگي بودن اين ويژگي را نمي توانند درك كنند." 

منطق فازي چيست؟

اشاره :
حتماً بارها شنيده‌ايد كه كامپيوتر از يك منطق صفر و يك تبعيت مي‌كند. در چارچوب اين منطق، چيزها يا درستند يا نادرست، وجود دارند يا ندارند. اما انيشتين مي‌گويد: <آن‌جايي كه قوانين رياضيات (كلاسيك) به واقعيات مربوط مي‌شوند، مطمئن نيستند و آنجا كه آن‌ها مطمئن هستند، نمي‌توانند به واقعيت اشاره داشته باشند.> هنگامي كه درباره درستي يا نادرستي پديده‌ها و اشيايي صحبت مي‌كنيم كه در دنياي واقعي با آن‌ها سروكار داريم، توصيف انيشتين تجسمي است از ناكارآمدي قوانين منطق كلاسيك در علم رياضيات. از اين رو مي‌بينيم انديشه نسبيت شكل مي‌گيرد و توسعه مي‌يابد. در اين مقاله مي‌خواهيم به اختصار با منطق فازي آشنا شويم. منطقي كه دنيا را نه به صورت حقايق صفر و يكي، بلكه به صورت طيفي خاكستري از واقعيت‌ها مي‌بيند و در هوش مصنوعي كاربرد فراواني يافته‌است.

كجا اتومبيل خود را پارك مي‌كنيد؟
تصور كنيد يك روز مطلع مي‌شويد، نمايشگاه پوشاكي در گوشه‌اي از شهر برپا شده است و تصميم مي‌گيريد، يك روز عصر به اتفاق خانواده سري به اين نمايشگاه بزنيد. چون محل نمايشگاه كمي دور است، از اتومبيل استفاده مي‌كنيد، اما وقتي به محل نمايشگاه مي‌رسيد، متوجه مي‌شويد كه عده زيادي به آنجا آمده‌اند و پاركينگ نمايشگاه تا چشم كار مي‌كند، پر شده است.
 
اما چون حوصله صرف وقت براي پيدا كردن محل ديگري جهت پارك اتومبيل نداريد، با خود مي‌گوييد: <هر طور شده بايد جاي پاركي در اين پاركينگ پيدا كنم.> سرانجام در گوشه‌اي از اين پاركينگ محلي را پيدا مي‌كنيد كه يك ماشين به طور كامل در آن جا نمي‌شود، اما با كمي اغماض مي‌شود يك ماشين را در آن جاي داد، هرچند كه اين ريسك وجود دارد كه فضاي عبور و مرور ديگر خودروها را تنگ كنيد و آن‌ها هنگام حركت به خودرو شما آسيب برسانند. اما به هرحال تصميم مي‌گيريد و ماشين خود را پارك مي‌كنيد.

بسيارخوب! اكنون بياييد بررسي كنيم شما دقيقاً چه كار كرديد؟ شما دنبال جاي توقف يك اتومبيل مي‌گشتيد. آيا پيدا كرديد؟ هم بله، هم نه. شما در ابتدا مي‌خواستيد ماشين را در جاي مناسبي پارك كنيد. آيا چنين عملي انجام داديد؟ از يك نظر بله، از يك ديدگاه نه. در مقايسه با وقت و انرژي لازم براي پيدا كردن يك مكان راحت براي توقف خودرو، شما جاي مناسبي پيدا كرديد. چون ممكن بود تا شب دنبال جا بگرديد و چنين جايي را پيدا نكنيد. اما از اين نظر كه اتومبيل را در جايي پارك كرديد كه فضاي كافي براي قرارگرفتن ماشين شما نداشت، نمي‌توان گفت جاي مناسبي است.

اگر به منطق كلاسيك در علم رياضيات مراجعه كنيم و اين پرسش را مطرح نماييم كه قبل از ورود به پاركينگ چند درصد احتمال مي‌داديد جايي براي پارك‌كردن پيدا كنيد، پاسخ بستگي به اين دارد كه واقعاً چه تعداد مكان مناسب (فضاي كافي) براي توقف خودروها در آنجا وجود داشت؟ اگر به حافظه خود رجوع كنيد، شايد به ياد بياوريد كه هنگام ورود به پاركينگ و چرخيدن در قسمت‌هاي مختلف آن، گاهي خودروهايي را مي‌ديديد كه طوري پارك كرده‌اند كه مكان يك و نيم خودرو را اشغال كرده‌اند. بعضي ديگر نيز كج و معوج پارك كرده بودند و اين فكر از ذهن شما چندبار گذشت كه اگر صاحب بعضي از اين خودروها درست پارك ‌كرده بودند، الان جاي خالي براي پارك كردن چندين ماشين ديگر هم وجود داشت.

به اين ترتيب علم رياضيات و آمار و احتمال در مواجهه با چنين شرايطي قادر به پاسخگويي نيست. اگر قرار بود بر اساس منطق صفر و يك يا باينري كامپيوتر، روباتي ساخته شود تا اتوميبل شما را در يك مكان مناسب پارك‌ كند، احتمالش كم بود. چنين روباتي به احتمال زياد ناكام از پاركينگ خارج مي‌شد. پس شما با چه منطقي توانستيد اتومبيل خود را پارك‌ كنيد؟ شما از منطق فازي استفاده كرديد.

دنياي فازي‌
مي‌پرسم <هوا ابري است يا آفتابي؟> پاسخ مي‌دهي: نيمه‌ابري. مي‌پرسم <آيا همه آنچه كه ديروز به من گفتي، راست بود؟> پاسخ مي‌دهي: بيشتر آن حقيقت داشت. ما در زندگي روزمره بارها از منطق فازي استفاده مي‌كنيم. واقعيت اين است كه دنياي صفر و يك، دنيايي انتزاعي و خيالي است. به ندرت پيش مي‌آيد موضوعي صددرصد درست يا صددرصد نادرست باشد؛ زيرا در دنياي واقعي در بسياري از مواقع، همه‌چيز منظم و مرتب سرجايش نيست.

از نخستين روز تولد انديشه فازي، بيش از چهل سال مي‌گذرد. در اين مدت نظريه فازي، چارچوب فكري و علمي جديدي را در محافل آكادميك و مهندسي معرفي  نموده و ديدگاه دانشمندان را نسبت به كمّ و كيف دنياي اطراف ما تغيير داده است. منطق فازي جهان‌بيني بديع و واقع‌گرايانه‌اي است كه به اصلاح شالوده ‌منطق علمي و ذهني بشر كمك شاياني كرده‌است.

پيشينه منطق فازي  
تئوري مجموعه‌هاي فازي و منطق فازي را اولين بار پرفسور لطفي‌زاده (2) در رساله‌اي به نام <مجموعه‌هاي فازي - اطلاعات و كنترل> در سال 1965 معرفي نمود. هدف اوليه او در آن زمان، توسعه مدلي كارآمدتر براي توصيف فرآيند پردازش زبان‌هاي طبيعي بود. او مفاهيم و اصلاحاتي همچون مجموعه‌هاي فازي، رويدادهاي فازي، اعداد فازي و فازي‌سازي را وارد علوم رياضيات و مهندسي نمود. از آن زمان تاكنون، پرفسور لطفي زاده به دليل معرفي نظريه بديع و سودمند منطق فازي و تلاش‌هايش در اين زمينه، موفق به كسب جوايز بين‌المللي متعددي شده است.
پس از معرفي منطق فازي به دنياي علم، در ابتدا مقاومت‌هاي بسياري دربرابر پذيرش اين نظريه صورت گرفت.

بخشي از اين مقاومت‌ها، چنان كه ذكر شد، ناشي از برداشت‌هاي نادرست از منطق فازي و كارايي آن بود. جالب اين‌كه، منطق فازي در سال‌هاي نخست تولدش بيشتر در دنياي مشرق زمين، به‌ويژه كشور ژاپن با استقبال روبه‌رو شد، اما استيلاي انديشه كلاسيك صفر و يك در كشورهاي مغرب زمين، اجازه رشد اندكي به اين نظريه داد. با اين حال به تدريج كه اين علم كاربردهايي پيدا كرد و وسايل الكترونيكي و ديجيتالي جديدي وارد بازار شدند كه بر اساس منطق فازي كارمي‌كردند، مخالفت‌ها نيز اندك اندك كاهش يافتند.

در ژاپن استقبال از منطق فازي، عمدتاً به كاربرد آن در روباتيك و هوش مصنوعي مربوط مي‌شود. موضوعي كه يكي از نيروهاي اصلي پيش‌برندهِ اين علم طي چهل سال گذشته بوده است. در حقيقت مي‌توان گفت بخش بزرگي از تاريخچه دانش هوش مصنوعي، با تاريخچه منطق فازي همراه و هم‌داستان است.

مجموعه‌هاي فازي‌
بنياد منطق فازي بر شالوده نظريه مجموعه‌هاي فازي استوار است. اين نظريه تعميمي از نظريه كلاسيك مجموعه‌ها در علم رياضيات است. در تئوري كلاسيك مجموعه‌ها، يك عنصر، يا عضو مجموعه است يا نيست. در حقيقت عضويت عناصر از يك الگوي صفر و يك و باينري تبعيت مي‌كند. اما تئوري مجموعه‌هاي فازي اين مفهوم را بسط مي‌دهد و عضويت درجه‌بندي شده را مطرح مي‌كند. به اين ترتيب كه يك عنصر مي‌تواند تا درجاتي - و نه كاملاً - عضو يك مجموعه باشد. مثلاً اين جمله كه <آقاي الف به اندازه هفتاددرصد عضو جامعه بزرگسالان است> از ديد تئوري مجموعه‌هاي فازي صحيح است. در اين تئوري، عضويت اعضاي مجموعه از طريق تابع (u‌(x مشخص مي‌شود كه x نمايانگر يك عضو مشخص و u تابعي فازي است كه درجه عضويت ‌x در مجموعه مربوطه را تعيين مي‌كند و مقدار آن بين صفر و يك است (فرمول 1).

فرمول 1

به بيان ديگر، (‌u‌(x نگاشتي از مقادير x به مقادير عددي ممكن بين صفر و يك را مي‌سازد. تابع (‌u‌(x ممكن است مجموعه‌اي از مقادير گسسته (discrete) يا پيوسته باشد. وقتي كهu  فقط تعدادي از مقادير گسسته بين صفر و يك را تشكيل مي‌دهد، مثلاً ممكن است شامل اعداد 3/0 و 5/0 و 7/0 و 9/0 و صفر و يك باشد. اما وقتي مجموعه مقاديرu  پيوسته باشند، يك منحني پيوسته از اعداد اعشاري بين صفر و يك تشكيل مي‌شود.

شكل 1 نموداري از نگاشت پيوسته مقادير x به مقادير ‌(‌u‌(x را نشان مي‌دهد. تابع‌ (‌u‌(x در اين نمودار مي‌تواند قانون عضويت در يك مجموعه فازي فرضي را تعريف كند.

شكل 1

منطق فازي چگونه به‌كار گرفته مي‌شود؟
منطق فازي را از طريق قوانيني كه <عملگرهاي فازي> ناميده مي‌شوند، مي‌توان به‌كار گرفت. اين قوانين معمولاً بر اساس مدل زير تعريف مي‌شوند:

IF variable IS set THEN action
به عنوان مثال فرض كنيد مي‌خواهيم يك توصيف فازي از دماي يك اتاق ارائه دهيم. در اين صورت مي‌توانيم چند مجموعه فازي تعريف كنيم كه از الگوي تابع (‌u‌(x تبعيت كند. شكل 2 نموداري از نگاشت متغير <دماي هوا> به چند مجموعه‌ فازي با نام‌هاي <سرد>، <خنك>، <عادي>، <گرم> و <داغ> است. چنان كه ملاحظه مي‌كنيد، يك درجه حرارت معين ممكن است متعلق به يك يا دو مجموعه باشد.
 

شكل 2

به عنوان نمونه، درجه حرارت‌هاي بين دماي T1 و T2 هم متعلق به مجموعه <سرد> و هم متعلق به مجموعه <خنك> است. اما درجه عضويت يك دماي معين در اين فاصله، در هر يك از دو مجموعه متفاوت است. به طوري كه دماي نزديك  ‌T2 تنها به اندازه چند صدم در مجموعه <سرد> عضويت دارد، اما نزديك نوددرصد در مجموعه <خنك> عضويت دارد.

پارادايم حاكم بر يك كنترلر فازي به اين ترتيب است كه متغيرهاي دنياي واقعي به عنوان ورودي دريافت مي‌شوند. قوانين فازي آن‌ها را به متغيرهاي معنايي تبديل مي‌كند. فرآيند فازي اين ورودي را مي‌گيرد و خروجي معنايي توليد مي‌كند و سرانجام خروجي‌ها به زبان دنياي واقعي ترجمه مي‌شوند. نمودار شكل 3 مصداقي از همين روند است.

اكنون مي‌توان بر اساس مدل فوق قانون فازي زير را تعريف كرد:

اگر دماي اتاق <خيلي گرم> است، سرعت پنكه را <خيلي زياد> كن.
اگر دماي اتاق <گرم> است، سرعت پنكه را <زياد> كن.
اگر دماي اتاق <معتدل> است، سرعت پنكه را در <همين اندازه> نگه‌دار.
اگر دماي اتاق <خنك> است، سرعت پنكه را <كم> كن.
اگر دماي اتاق <سرد> است، پنكه را <خاموش> كن.

اگر اين قانون فازي را روي يك سيستم كنترل دما اعمال كنيم، آن‌گاه مي‌توانيم دماسنجي بسازيم كه دماي اتاق را به صورت خودكار و طبق قانون ما، كنترل مي‌كند. اما اين سؤال پيش مي‌آيد كه اگر دو يا چند قانون همزمان براي يك متغير ورودي فعال شود چه اتفاقي خواهد افتاد؟ فرض كنيد دماي اتاق برابر Tx₁‌ است در اين صورت هم قانون مربوط به اتاق گرم و هم قانون مربوط به دماي اتاق معتدل صادق است و مقادير U1 و U2 به ترتيب به دست مي‌آيد. طبق كدام قانون بايد عمل كرد؟ لطفي‌زاده خود پاسخ اين معما را نداد. در سال 1975 دو دانشمند منطق فازي به نام ممداني (Mamdani) و آسيليان اولين كنترل فازي واقعي را طراحي كردند. آنان پاسخ اين معما را با محاسبهِ نقطه ثقل (C) مساحتي كه از تركيب دو ذوزنقه زير U1 و U2 در شكل 3 پديد آمده و نگاشت آن به محور t و به دست آوردن مقدار Tx₂ حل كردند.

منطق فازي، همچون منطق كلاسيك تعدادي عملگر پايه دارد. مثلاً در منطق كلاسيك از عملگرهاي AND و ‌OR و‌NOT استفاده مي‌شود كه دانش آموزان رشته رياضي فيزيك در دبيرستان با آن‌ها آشنا مي‌شوند. در منطق فازي معادل همين عملگرها وجود دارد كه به آن‌ها عملگرهاي <زاده> مي‌گويند. اين عملگرها به صورت زير تعريف مي‌شوند: (فرمول 2)

به عنوان مثال تركيب AND دو متغير x و y عبارت است از كمينه مقادير (‌u‌(x و (‌u(y. به عبارت ساده‌تر، آنجا كه هم x  و y از نظر فازي <صحيح> باشند، همزمان مقادير (‌u‌(x و (‌u(y به كمترين مقدار خود مي‌رسند.

پرفسور لطفي‌زاده خالق نظريه مجموعه‌هاي فازي و منطق فازي‌

تفاوت ميان نظريه احتمالات و منطق فازي‌
يكي از مباحث مهم در منطق فازي، تميزدادن آن از نظريه احتمالات در علم رياضيات است. غالباً نظريه فازي با نظريه احتمالات اشتباه مي‌شود. در حالي كه اين دو مفهوم كاملاً با يكديگر متفاوتند. اين موضوع به قدري مهم است كه حتي برخي از دانشمندان بزرگ علم رياضيات در دنيا - به‌ويژه كشورهاي غربي - درمورد آن با يكديگر بحث دارند و جالب آن كه هنوز هم رياضيداناني وجود دارند كه با منطق فازي مخالفند و آن را يك سوء تعبير از نظريه احتمالات تفسير مي‌كنند.

از نگاه اين رياضيدانان، منطق فازي چيزي نيست جز يك برداشت نادرست از نظريه احتمالات كه به گونه‌اي غيرقابل قبول، مقادير و اندازه‌گيري‌هاي نادقيق را وارد علوم رياضيات، مهندسي و كنترل كرده است. بعضي نيز مانند Bruno de Finetti معتقدند فقط يك نوع توصيف از مفهوم عدم‌قطعيت در علم رياضيات كافي است و چون علم آمار و احتمالات وجود دارد، نيازي به مراجعه به منطق فازي نيست.
 
با اين حال، اكثريت طرفداران نظريه منطق فازي، كارشناسان و متخصصاني هستند كه به طور مستقيم يا غيرمستقيم با علم مهندسي كنترل سروكار دارند. حتي تعدادي از پيروان منطق فازي همچون بارت كاسكو تا آنجا پيش مي‌روند كه احتمالات را شاخه و زيرمجموعه‌اي از منطق فازي مي‌نامند.

توضيح تفاوت ميان اين دو نظريه البته كار چندان دشواري نيست. منطق فازي با حقايق نادقيق سروكار دارد و به حدود و درجات يك واقعيت اشاره دارد؛ حال آن‌كه نظريه احتمالات بر شالوده مجموعه حالات تصادفيِ يك پديده استوار است و درباره شانس وقوع يك حالت خاص صحبت مي‌كند؛ حالتي كه وقتي اتفاق بيفتد، دقيق فرض مي‌شود. ذكر يك مثال مي‌تواند موضوع را روشن كند. فرض كنيد در حال رانندگي در يك خيابان هستيد. اتفاقاً متوجه مي‌شويد كه كودكي در اتومبيل ديگري كه به موازات شما در حال حركت است، نشسته و سر و يك دست خود را از پنجره ماشين بيرون آورده و در حال بازي‌گوشي است. اين وضعيت واقعي است و نمي‌توان گفت احتمال اين‌كه بدن اين كودك بيرون اتومبيل باشد، چقدر است.
 
چون بدن او واقعاً بيرون ماشين است، با اين توضيح كه بدن او كاملاً بيرون نيست، بلكه فقط بخشي از بدن او در خارج اتومبيل قرارگرفته است. تئوري احتمالات در اينجا كاربردي ندارد. چون ما نمي‌توانيم از احتمال خارج بودن بدن كودك از ماشين صحبت كنيم؛ زيرا آشكارا فرض غلطي است. اما مي‌توانيم از احتمال وقوع حادثه‌ صحبت كنيم. مثلاً هرچه بدن كودك بيشتر بيرون باشد، احتمال اين‌كه در اثر برخورد با بدنه يك اتومبيل در حال حركت دچار آسيب شود، بيشتر مي‌شود. اين حادثه هنوز اتفاق نيفتاده است، ولي مي‌توانيم از احتمال وقوع آن صحبت كنيم. اما بيرون بودن تن كودك از ماشين همين حالا به واقعيت تبديل شده است و فقط مي‌توانيم از ميزان و درجات آن صحبت كنيم.

تفاوت ظريف و در عين حال پررنگي ميان نظريه احتمالات و نظريه فازي وجود دارد كه اگر دقت نكنيم، دچار اشتباه مي‌شويم؛ زيرا اين دو نظريه معمولاً در كنار يكديگر و در مورد اشياي مختلف همزمان مصداق‌هايي پيدا مي‌كنند. هنگامي كه به يك پديده مي‌نگريم، نوع نگاه ما به آن پديده مي‌تواند تعيين كند كه بايد درباره احتمالات صحبت كنيم يا منطق فازي. در مثال فوق موضوع دغدغه ما كودكي است كه در حال بازي گوشي است. اما يك وقت نگران اين هستيم كه تا چه اندازه خطر او را تهديد مي‌كند. خطري كه هنوز به وقوع نپيوسته است. يك وقت هم ممكن است نگران باشيم كه بدن او چقدر بيرون پنجره است. واقعيتي كه هم‌اكنون به وقوع پيوسته است.

شكل 4

يك ديدگاه درباره علت بحث و جدل علمي ميان دانشمندان اين است كه برخي از رياضيدانان اتكا به علم آمار و احتمال را كافي مي‌دانند و نظريه فازي را يك برداشت غيركارآمد از جهان درباره ما تلقي مي‌كنند. به عنوان مثال، اگر به مورد كودك و اتومبيل مراجعه كنيم، اين پرسش مطرح مي‌شود كه اگر نگراني و دغدغه نهايي ما احتمال وقوع حادثه است، ديگر چه نيازي به اين است كه ما درباره درجات <بيرون بودن تن كودك از اتومبيل> صحبت كنيم؟
 
بحث درباره ابعاد فلسفي منطق فازي بسيار شيرين و البته گسترده است. متأسفانه مجال براي طرح گستردهِ ابعاد فلسفي منطق فازي در اين مقاله وجود ندارد. از اين رو اگر مايل به مطالعه بيشتر در اين زمينه هستيد، كتاب بسياري خواندني <تفكر فازي> را كه در پي‌نوشت دوم انتهاي مقاله معرفي كرده‌ام، توصيه مي‌كنم.(شكل 4)

كاربردهاي منطق فازي‌
منطق فازي كاربردهاي متعددي دارد. ساده‌ترين نمونه يك سيستم كنترل دما يا ترموستات است كه بر اساس قوانين فازي كار مي‌كند. سال‌هاست كه از  منطق فازي براي كنترل دماي آب يا ميزان كدرشدن آبي كه لباس‌ها در آن شسته شده‌اند در ساختمان اغلب ماشين‌هاي لباسشويي استفاده مي‌شود.
 
امروزه ماشين‌هاي ظرفشويي و بسياري از ديگر لوازم خانگي نيز از اين تكنيك استفاده مي‌كنند. منطق فازي در صنعت خودروسازي نيز كاربردهاي فرواني دارد. مثلاً سيستم ترمز و ABS در برخي از خودروها از منطق فازي استفاده مي‌كند. يكي از معروف‌ترين نمونه‌هاي به‌كارگيري منطق فازي در سيستم‌هاي ترابري جهان، شبكه مونوريل (قطار تك ريل) توكيو در ژاپن است. ساير سيستم‌هاي حركتي و جابه‌جايي بار، مثل آسانسورها نيز از منطق فازي استفاده مي‌كنند.
 
سيستم‌هاي تهويه هوا نيز به وفور منطق فازي را به‌كار مي‌گيرند. از منطق فازي در سيستم‌هاي پردازش تصوير نيز استفاده مي‌شود. يك نمونه از اين نوع كاربردها را مي‌توانيد در سيستم‌هاي <تشخيص لبه و مرز> اجسام و تصاوير(3) مشاهده كنيد كه در روباتيك نيز كاربردهايي دارد. به طور كلي خيلي از مواقع در ساختمان سيستم‌هاي تشخيص الگوها (Pattern Recognition) مثل سيستم‌هاي تشخيص گفتار و پردازش تصوير از منطق فازي استفاده مي‌شود.

شكل 3

فرمول 2

منطق فازي و هوش مصنوعي‌
جالب‌ترين كاربرد منطق فازي، تفسيري است كه اين علم از ساختار تصميم‌گيري‌هاي موجودات هوشمند، و در راس آن‌ها، هوش انساني، به دست مي‌دهد.
 
اين منطق به خوبي نشان مي‌دهد كه چرا منطق دو ارزشي <صفر و يك> در رياضيات كلاسيك قادر به تبيين و توصيف مفاهيم نادقيقي همچون <گرما و سرما> كه مبناي بسياري از تصميم‌گيري‌هاي هوشمند را تشكيل مي‌دهند، نيست.

شايد يكي از جالب‌ترين كاربردهاي منطق فازي هوش مصنوعي در بازي‌هاي رايانه‌اي و جلوه‌هاي ويژه سينمايي باشد. برخي از خوانندگان كه بخش هنر و سرگرمي ماهنامه شبكه را دنبال مي‌كنند، ممكن است مقاله ارباب حلقه‌ها را در شماره 41 به ياد بياورند. در آنجا درباره چگونگي توليد جلوه‌هاي ويژه در اين فيلم سينمايي صحبت كردم و از نرم‌افزار Massive نام بردم. از اين نرم‌افزار در بسياري از صحنه‌هاي فيلم براي توليد حركات لشكر موجودات متخاصم استفاده شده بود.
 

شكل 5

در اين برنامه متخصصان كامپيوتر و انيميشن ابتدا موجوداتي را به صورت الگو ايجاد كرده بودند و سپس به كمك منطق فازي مصداق‌هايي تصادفي از اين موجودات خيالي پديدآورده بودند كه حركات تصادفي - اما از پيش تعريف شده‌اي ‌-‌ در اعضاي بدن خود داشتند.
 
اين موجودات در حقيقت داراي نوعي هوش مصنوعي بودند و مي‌توانستند براي نحوه حركت دادن اعضاي بدن خود تصميم بگيرند. در عين حال تمام موجوداتي كه در يك لشكر به سويي مي‌تاختند يا با دشمني مي‌جنگيدند، از جهت حركت يكساني برخودار بودند و به سوي يك هدف مشخص حمله مي‌كردند(شكل5).

اين ساختار كاملا‌ً پيچيده و هوشمند به فيلمسازان اجازه داده بود كه اين موجودات افسانه‌اي را در دنياي مجازي كامپيوتر به حال خود رها كنند تا به سوي دشمنان حمله كنند و اين همه بي‌ترديد بدون بهره‌گيري از منطق فازي امكانپذير نبود.
 

شركت Massive Software كه به دليل به‌كارگيري منطق فازي براي ايجاد هوش‌مصنوعي در طراحي لشكريان فيلم‌ ارباب حلقه‌ها برنده جايزه اسكار شد، بعداً اين تكنيك را در فيلم‌هاي ديگري همچون I.Robot و King Kong نيز به‌كار برد.

استفاده از منطق فازي براي هوشمند‌كردن موجودات نرم‌افزاري تنها گونه‌اي از كاربردهاي اين نظريه در هوش‌مصنوعي است. منطق فازي در هوشمند ساختن روبات‌هاي سخت‌افزاري نيز كاربردهاي زيادي دارد. در شماره‌هاي آتي ماهنامه شبكه به اين موضوع بيشتر خواهيم پرداخت.

پي‌نوشت:
1- گاهي از او با نام <زاده> نيز نام برده مي‌شود و برخي از قوانين منطق فازي به پيروي از آداب تاريخي علم رياضيات، با كلمه Zadeh نامگذاري شده‌اند.

2- تفكر فازي- نوشته بارت كاسكو - ترجمه دكتر علي غفاري - انتشارات دانشگاه صنعتي خواجه‌نصيرالدين طوسي.

منبع:http://www.shabakeh-mag.com

شارل فردریک گائوس

شارل. فردريك گائوس فرزند باغبان فقيري از اهالي «برونشويك» آلمان بود كه در تاريخ 30 آوريل سال 1777 متولد شد. پدرش مردي شرافتمند و مادرش زني فعال و باهوش بود. گائوس بيش از سه سال نداشت كه پدرش را از اشتباهي كه در حساب ورقه اي بود مطلع ساخت و بدين ترتيب توانست استعداد فوق العاده خود را در محاسبه نشان دهد. هنگاميكه گائوس در مدرسه ابتدايي مشغول تحصيل بود و بيش از ده سال نداشت يك روز معلم او سر كلاس شاگردان را وادار نمود كه مجموعه سلسله اي از اعداد را با هم جمع كنند ولي هنوز صورت مسئله تمام نشده بود كه گائوس ده ساله گفت كه من مسئله را حل كردم او متوجه شده بود كه اختلاف ما بين او عدد از اين سلسله مقداريست ثابت و خود به خود دستوري براي مجموع اين نوع سلسله اعداد بوجود آورد. معلم او سخت متعجب شد و اظهار داشت كه اين كودك از من قويتر است و من ديگر معلوماتي ندارم كه به او بياموزم گائوس در سال 1795 وارد دانشگاه گوتينگن شد و در 19 سالگي به حل بسياري از مسائل كه براي اويلر و لاگرانژ لاينحل مانده بود موفق گرديد گائوس نيز همچون ارشميدس و دكارت و نيوتن در كودكي دچار حادثه اي گرديد كه ممكن بود رياضيات را از وجود او محروم سازد وي در اولين سالهاي كودكي بود و طغيان آب ترعه اي را كه از كنار خانه محقر ايشان مي گذشت سرريز كرده بود. كودك كه در كنار آب بازي مي كرد در ترعه افتاد و چيزي نمانده بود كه غرق شود و اگر بر حسب تصادف كارگري كه در آن نزديكي بود وي را نجات نمي داد زندگاني گائوس به همين جا خاتمه مي يافت. روز سي ام مارس 1796 يكي از روزهاي تاريخي دوران زندگي گائوس است در اين روز يعني درست يك ماه قبل از اينكه نوزده ساله شود گائوس بطور قطع تصميم به مطالعه در رياضيات گرفت. از همين روز بود وي دفتر يادداشت علمي خويش را ترتيب داد كه يكي از ذيقيمت ترين مدارك تاريخ رياضيات مي باشد و اولين مسئله اي كه در آن ثبت شده است همين اكتشاف بزرگ او مي باشد.

اين دفتر يادداشت فقط از سال 1898 در معرض مطالعه عموم قرار گرفت يعني چهال و سه سال بعد از وفات گائوس.

گائوس در نهم اكتبر 1805 در بيست و هشت سالگي با يوهانا اشتهوف از اهالي شهر برونسويك ازدواج مي كند و در نامه اي كه سه روز بعد از نامزدي خود به دوست دانشگاهي خويش ولنگانگ بوليه نوشته است از خوشبختي خويش چنين گفتگو مي كند: «زندگاني هنوز به صورت بهاري ابدي با رنگهاي جديد و درخشان در مقابل من است. از اين ازدواج سه فرزند نصيب او شد كه يوزف و مينا و لودويش نام داشتند زنش در يازدهم اكتبر سال 1809 بعد از تولد لودويش وفات يافت. اگرچه سال بعد (چهارم اوت 1810) بخاطر كودكانش از نو ازدواج كرد ولي سالها بعد نيز از زن اول خود با تأثر بسيار گفتگو مي كرد. زن دوم او كه مينا والدك نام داشت دو پسر و يك دختر برايش آورد.

فقر و تنگدستي گائوس از يك طرف و فوت زنش از طرف ديگر بدبيني عجيبي در او بوجود آورد بطوريكه تا آخر عمر اين بدبيني از او جدا نگرديد ولي با وجود همه اين گرفتاريها و در حاليكه نوشته بود «مرگ بر اين زندگي ترجيح دارد» كتاب «تئوري اجسام آسماني روي مقاطع مخروطي حول خورشيد» را انتشار داد و در سال 1811 مسير ستاره دنباله دار عظيمي را محاسبه نمود و در همين سال يك متير موهومي را بيان كرد ولي از ديگران مخفي نگهداشت بطوريكه كوشي رياضيدان معروف دوباره مجبور به كشف آن شد و بدين ترتيب 50 سال علم رياضي عقب بود. در سال 1833 تلگراف الكتريكي را ساخت و دو كتاب يكي در سال 1827 به نام «تجسسات درباره مسائل مربوط به مساحي عالي» منتشر ساخت و در اين هنگام بود كه تمام مردم معتقد بودند كه گائوس بزرگترين رياضيدان جهان است ولي گائوس به اين افتخارات اهميت نمي داد و هيچ كس را نزد خود نمي پذيرفت و از خانه خارج نمي شد و تنها در مدت 27 سال فقط يكبار براي شركت در كنگره علمي به برلين مسافرت كرد. گائوس فقط با زني به نام «سوفي ژرمن» اهل فرانسه ارتباط داشت اين زن در سال 1816 از طرف آكادمي علوم پاريس به اخذ جايزه بزرگ رياضيات نائل شد. گائوس به آثار والتر اسكات و ژان پول علاقه فراوان داشت و در هفتاد سالگي به فكر آموختن زبان روسي افتاد. گائوس اكتشافات خود را طي سالهاي 1796 تا 1814 در نوزده صفحه كه شامل 146 اكتشاف مهم بود در سال 1898 منتشر ساخت اين جزوه چند صفحه اي گنجينه بزرگي بود كه دانشمندان را به كلي حيران نمود.

گائوس اكتشافات خود را هميشه بصورت معما يادداشت مي نمود و معتقد بود كه فقط براي خود مطالعه مي كند. وي هنگامي كه در دانشگاه تحصيل مي كرد كتاب خود را به نام «تجسسات حسابي» تمام كرد و تئوري اعداد را كه تا آن زمان شكل واقعي به خود نگرفته بود بصورت دانش حقيقي درآورد. لاگرانژ رياضيدان معروف در مورد كتاب گائوس چنين اظهار داشته است:

كتابي را كه به عنوان «تجسسات حسابي» منتشر نموده ايد مقام علمي شما را تا رديف بزرگترين رياضي دانان جهان بالا برده است و قسمتي ازآن كه شامل اكتشافات تحليلي است تاكنون نظيرش بوجود نيامده مقارن با انتشار كتاب گائوس در سال 1801 «پيازي» ستاره كوچك «سرس» را كشف نموده بود و منجمين در صدد محاسبه مدار آن بر آمدند ولي محاسبه آن به استفاده از اعدادي منجر شد كه چند كيلومتر طول داشتند. گائوس شروع به كار نمود و روش كلي مطالعه اين مسائل را به دست آورد در نتيجه اين اكتشاف به عنوان يك منجم مشهور شد و رياست رصدخانه گوتينگن را به دست آورد.

گائوس در سالهاي آخر زندگي مورد توجه و محبت عمومي قرار داشت ولي آنقدر كه شايستگي داشت از نعمت خوشبختي بهره مند نبود. در ابتداي سال 1855 كم كم از تصلب عضلات قلب و اتساع حفره هاي ريوي رنج مي برد و آثار آب آوردن در او هويدا شد. آخرين نامه اي كه نوشت خطاب به سر ديويه يوستر (فيزيكدان انگليسي) و درباره اكتشاف تلگراف الكتريكي بود. در صبح روز 23 فوريه 1855 در سن هفتاد و هشت سالگي با آرامش كامل جان سپرد در قلمرو رياضيات نام او تا ابد جاويد خواهد ماند.

 

منبع:http://bashgah.net

 

 

جان ون

شرح زندگی جان ون

---

جان ون در چهارم آگوست سال 1834در یک خانواده برجسته مذهبی، در انگلستان متولد شد. هنگامی که او جوان بود پدرش، هنری ون(Henry Venn)، به لندن سفر کرد تا به عنوان عضو افتخاری انجمن مبلغین کلیسا مشغول به کار شود. ون تحصیلات خود را در لندن، در مدرسه Sir Roger Cholmley's School آغاز کرد که اکنون با نام Highgate School شناخته می‌شود. در سال 1853 بعد از فارغ التحصیل شدن از دبیرستان در کالج‌های Gonville و Caius در کمبریج(Cambridge) نام نویسی کرد. او در سال 1854 به عنوان یک محقق ریاضی برگزیده شد و در سال 1857 مدرک لیسانس خود را دریافت کرد. همچنین ون در سال 1857به عنوان مرد اول کالج شناخته شد و تا سالهای بعد هم این عنوان را به خود اختصاص داد. پیشینه خانوادگی او، ون را به سوی مسایل مذهبی سوق می‌داد که به این ترتیب او در سال 1858در کلیسای ایلی(Ely) به عنوان خادم و در سال 1859 به عنوان کشیش به فعالیت پرداخت و بعد از آن تا هنگامی که به عنوان مدرس در علوم اخلاق به کمبریج بازگردد، دفاتری را در شهرهای مختلف از جملهCheshunt, Hertfordshire, Mortlake, Surrey دایر کرد.

ون سی سال بعد به منطق علاقه‌مند شد و حدود سه مقاله در این باره منتشر نمود. او کتاب The Logic of Chance (منطق شانس) را در سال 1866، کتاب Symbolic Logic (منطق سمبلیک) را در سال 1881و کتاب The Principles of Empirical Logic (قانون تجربی منطق) را در سال 1889به رشته تحریر در آورد. هنگامی که ون تحقیقات خود را در سال 1883در مورد منطق ادامه داد بدلیل مشغله زیاد از کار خود در کلیسا کناره گیری نمود. او همچنین دارای مهارت‌هایی در زمینه ساخت ماشین آلات بود، و او از این استعداد خود استفاده نمود و ماشینی برای بازی بولینگ(bowling cricket balls) ساخت که هنگامی که تیم کراکت(cricket) استرالیا در سال 1909 از کمبریج بازدید کردند ماشین ون نمایش جالبی را برای آنها اجرا نمود. در ســال 1883 ون در جامعه سلطنتی انگلستان برگزیده شد و کمبریج به او مدرک دکترای علوم (ScD) را اهدا نمود. در ســال 1897 بـعد از چاپ سومــین کــتابش در منـطق،تاریـخــچه و خاطراتی را از کــالج خود با عنـــوان The Biographical History of Gonville and Caius College, 1349-1897 نوشت و در کمبریج مشغول به کار شد. او نوشتن خاطرات را ادامه داد و چاپ آنها که بالغ بر هشت جلد کتاب بود در سال 1897 آغاز شد. او سر انجام در چهارم آپریل سال 1923، پس از 88 سال زندگی پر بار درگذشت.

کارهای ون

جان ون به طور کلی به خاطر دیاگرام های منطقی (Logical Diagrams) خود بسیار معروف است. البته استفاده از نمایش هندسی برای شرح دادن منطق استدلالی، چیزی نبود که ون آن را ابداع کرده باشد بلکه در حقیقت گوتفرد ویلهلم لایب نیتز از آنها استفاده کرده است. ون دیاگرامهایی را که در قرن نوزدهم از جمله توسط بول و آگوستوس دمورگان مورد استفاده قرار می‌گرفت، مورد انتقاد قرار داد و کتاب Symbolic Logic را مخصوصاً برای تصحیح این روشها و مطرح کردن نظرات خود نوشت. اما این دلیل معروف شدن ون نبود، قبل از چاپ این کتاب ون مقاله ای تحت عنوان:
On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Prepositions and Reasonings (درباره نمایش مکانیکی و نموداری موضوعات و استدلال‌ها) نوشت که در آن، آنچه که امروزه به عنوان نمودار ون (دیاگرام ون) می‌شناسیم معرفی شده است. این مقاله در جولای سال 1880در مجله Philosophical Magazine (مجله فلسفی) و Journal of Science (ژورنال علوم) به چاپ رسید. ون در کتاب Symbollic Logic (منطق سمبولیک) در مورد این دیاگرامها با جزییات بیشتر توضیح داد که این توضیحات بخش اعظم این کتاب را تشکیل می‌دادند.

ون سه دایره را همانند شکل فوق، به عنوان سه زیرمجموعه مجموعه مرجعی چون U در نظر گرفت (A,B,C). نواحی مشترک بین سه دایره و قسمت‌های مکمل آنها مجموعه U را به هشت ناحیه غیر واقع بر هم افراز می کند که به کمک آنها می توان 256 ترکیب مختلف بولی را نشان داد. برای اینکه بتوان از نمودار ون استفاده کرد به تعریف ترتیبی بین عمل های بولی AND(و) ، NOT(نه) ، OR(یا) ، XOR(یا..یا، یا نه) نیاز داریم. ترتیب این اعمال از چپ به راست به این صورت است(مگر اینکه از پرانتز استفاده شود که در تین صورت ابتدا عبارت داخل پرانتز محاسبه می شود):

AND,NOT,OR,XOR

ون روش خود را با استفاده از دایره‌های متداخل و متخارج بهبود بخشید. نمودار ون نقش بسیار مهمی در منطق او و نیز تلاش او برای بیان آنچه او در منطق بول متناقض و مبهم می‌یافت، دارد. بعدها او متوجه شد نمودارهای او به قدر کافی عمومی نمی‌باشند لذا او روش خود را با استفاده از تعداد دایره‌های بیشتری که صفحه را به نواحی مختلفی افراز می‌کنند و هر دایره با دایره‌های دیگر دارای اشتراک است، گسترش داد. این روش بوسیله چارلز داگسون(Charles Dodgson) که در سال‌های 1832 تا 1898 زندگی می‌کرد بهبود یافت و اندیشه های او باعث شد که از یک ناحیه بسته به عنوان مکمل با متمم دایره های استفاده شود چیزی که امروزه به آن مجموعه مرجع می‌گوییم.